【高考领航】2022高考数学总复习8-5椭圆练习苏教版【A组】一、填空题1.(2022·高考大纲全国卷)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为________.解析:∵2c=4,∴c=2.又∵=4,∴a2=8,b2=a2-c2=4.∴椭圆方程为+=1答案:+=12.已知如图,椭圆+=1(a>b>0)上一点P,F1、F2为椭圆的焦点,若∠F1PF2=θ,则△PF1F2的面积等于________.解析:在△PF1F2中,由余弦定理得:2|PF1|·|PF2|·cosθ=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-|F1F2|2=(2a)2-2|PF1|·|PF2|-(2c)2(其中c2=a2-b2).∴|PF1|·|PF2|·(1+cosθ)=2b2,∴S△F1PF2=|PF1|·|PF2|·sinθ=··sinθ=b2tan.答案:b2tan3.(2022·高考浙江卷)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-=1有公共的焦9\n点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则b2=________.解析:对于直线与椭圆、圆的关系,如图所示,设直线AB与椭圆C1的一个交点为C(靠近A的交点),则|OC|=,因tan∠COx=2,∴sin∠COx=,cos∠COx=,则C的坐标为,代入椭圆方程得+=1,∵5=a2-b2,∴b2=.答案:4.(2022·高考江西卷)若椭圆+=1的焦点在x轴上,过点作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是________.解析:由题可设斜率存在的切线的方程为y-=k(x-1)(k为切线的斜率),即2kx-2y-2k+1=0,由=1,解得k=-,所以圆x2+y2=1的一条切线方程为3x+4y-5=0,求得切点A,易知另一切点B(1,0),则直线AB的方程为y=-2x+2.令y=0得右焦点为(1,0),令x=0得上顶点为(0,2).∴a2=b2+c2=5,故得所求椭圆方程为+=1.答案:+=15.(2022·高考浙江卷)设F1,F2分别为椭圆+y2=1的左,右焦点,点A,B在椭圆上,若=5,则点A的坐标是________.9\n解析:根据题意设A点坐标为(m,n),B点坐标为(c,d).F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,其坐标分别为(-,0)、(,0),可得=(m+,n),=(c-,d).∵=5,∴c=,d=.∵点A、B都在椭圆上,∴+n2=1,+2=1.解得m=0,n=±1,故点A坐标为(0,±1).答案:(0,±1)6.(2022·高考山东卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为________.解析:由题意知a2=4b2,故椭圆C的方程为+=1.(*)又双曲线的一条渐近线方程为y=x,假设它与椭圆的一个交点坐标为(m,m),由对称性及题意知8×m2=16,得m2=4,∴(2,2)在椭圆上,代入(*)式得b2=5,从而a2=20.答案:+=17.已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且=2,则C的离心率为________.解析:设椭圆的方程为+=1(a>b>0),则B(0,b),F(c,0),D(x0,y0),则=(c,-b),=(x0-c,y0),由=2得x0=c,y0=-,代入椭圆方程得+=1,∴e2=,∴e2=,∴e=.9\n答案:二、解答题8.(2022·高考江苏卷)如图,在平面直角坐标系xOy中,M、N分别是椭圆+=1的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中点P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C.连接AC,并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.(1)当直线PA平分线段MN时,求k的值;(2)当k=2时,求点P到直线AB的距离d;(3)对任意的k>0,求证:PA⊥PB.解:(1)由题设知,a=2,b=,故M(-2,0),N(0,-),所以线段MN中点的坐标为.由于直线PA平分线段MN,故直线PA过线段MN的中点,又直线PA过坐标原点,所以k==.(2)直线PA的方程为y=2x,代入椭圆方程得+=1,解得x=±,因此P,A.于是C,直线AC的斜率为=1,故直线AB的方程为x-y-=0.因此,d==.(3)证明:法一:将直线PA的方程y=kx代入+=1,解得x=±.记μ=,9\n则P(μ,μk),A(-μ,-μk).于是C(μ,0).故直线AB的斜率为=,其方程为y=(x-μ),代入椭圆方程并由μ=得(2+k2)x2-2μk2x-μ2(3k2+2)=0,解得x=或x=-μ.因此B.于是直线PB的斜率k1===-.因此k1k=-1,所以PA⊥PB.法二:设P(x1,y1),B(x2,y2),则x1>0,x2>0,x≠x2,A(-x1,-y1),C(x1,0).设直线PB,AB的斜率分别为k1,k2.因为C在直线AB上,所以k2===.从而k1k+1=2k1k2+1=2··+1=+1===0.因此k1k=-1,所以PA⊥PB.9.(2022·高考广东卷)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.(1)求椭圆C1的方程;(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.解:(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(-1,0),所以c=1.将点P(0,1)代入椭圆方程+=1,得=1,即b=1,所以a2=b2+c2=2.所以椭圆C1的方程为+y2=1.(2)由题意可知,直线l的斜率显然存在且不等于0,设直线l的方程为y=kx+m,由消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.因为直线l与椭圆C1相切,所以Δ1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0.整理得2k2-m2+1=0.①9\n由消去y并整理得k2x2+(2km-4)x+m2=0.因为直线l与抛物线C2相切,所以Δ2=(2km-4)2-4k2m2=0.整理得km=1.②综合①②,解得或所以直线l的方程为y=x+或y=-x-.【B组】一、填空题1.(2022·淮安模拟)已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1、F2,点M在该椭圆上,且·=0,则点M到y轴的距离为________.解析:由题意,得F1(-,0),F2(,0).设M(x,y),则·=(--x,-y)·(-x,-y)=0,整理得x2+y2=3.①又因为点M在椭圆上,故+y2=1,即y2=1-.②将②代入①,得x2=2,解得x=±.故点M到y轴的距离为.答案:2.(2022·南通模拟)方程为+=1(a>b>0)的椭圆的左顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,D是它短轴上的一个端点,若3=+2,则该椭圆的离心率为________.解析:设点D(0,b),则=(-c,-b),=(-a,-b),=(c,-b),由3=+2得-3c=-a+2c,即a=5c,故e=.答案:3.(2022·扬州模拟)如图,已知点P是以F1、F2为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上一点,若PF1⊥PF2,tan∠9\nPF1F2=,则此椭圆的离心率是________.解析:由题得△PF1F2为直角三角形,设PF1=m,∵tan∠PF1F2=,∴PF2=,F1F2=m,∴e===.答案:4.(2022·无锡模拟)如图所示,A,B是椭圆的两个顶点,C是AB的中点,F为椭圆的右焦点,OC的延长线交椭圆于点M,且OF=,若MF⊥OA,则椭圆的方程为________.解析:设所求的椭圆方程为+=1(a>b>0),则A(a,0),B(0,b),C,F(,0).依题意,得=,FM的直线方程是x=,所以M.由于O,C,M三点共线,所以=,即a2-2=2,所以a2=4,b2=2.所求方程是+=1.答案:+=15.(2022·常州模拟)已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,且PF1=t·PF2,则t的值为________.解析:设N为PF1的中点,则NO∥PF2,故PF2⊥x轴,故PF2==,而PF1+PF2=2a=4,∴PF1=,t=7.答案:79\n6.(2022·江南十校联考)设F1、F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),则PM+PF1的最大值为________.解析:PF1+PF2=10,PF1=10-PF2,PM+PF1=10+PM-PF2,易知M点在椭圆外,连结MF2并延长交椭圆于P点,此时PM-PF2取最大值MF2,故PM+PF1的最大值为10+MF2=10+=15.答案:157.(2022·连云港二模)在△ABC中,AB=BC,cosB=-,若以A、B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=________.解析:如图所示,设AB=BC=x,由cosB=-及余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=x2+x2+2x2×,∴AC2=x2,∴AC=x.∵椭圆以A、B为焦点,∴焦距为2c=AB=x.又椭圆经过点C,∴AC+BC=x+x=2a,∴2a=x,∴e==.答案:二、解答题8.已知椭圆C的中心为坐标原点O,一个长轴端点为(0,2),短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A、B,且=2.(1)求椭圆方程;(2)求m的取值范围.解:(1)由题意知椭圆的焦点在y轴上,设椭圆方程为+=1(a>b>0),由题意知a=2,b=c,又a2=b2+c2,则b=,∴椭圆方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,知直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+m,与椭圆方程联立,即9\n则(2+k2)x2+2mkx+m2-4=0,Δ=(2mk)2-4(2+k2)(m2-4)>0,由根与系数的关系,知又=2,即有(-x1,m-y1)=2(x2,y2-m),∴-x1=2x2.则∴=-22.整理,得(9m2-4)k2=8-2m2,又9m2-4=0时不成立,∴k2=>0,得<m2<4,此时Δ>0.∴m的取值范围为∪.9.(2022·宿迁模拟)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(-,0)和F2(,0),且椭圆过点.(1)求椭圆方程;(2)过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M,N两点,A为椭圆的左顶点,试判断∠MAN的大小是否为定值,并说明理由.解:(1)由题意,即可得到+y2=1.(2)设直线MN的方程为x=ky-,联立直线MN和曲线C的方程可得得(k2+4)y2-ky-=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),A(-2,0),y1y2=-,y1+y2=,则·=(x1+2,y1)·(x2+2,y2)=(k2+1)y1y2+k(y1+y2)+=0,即可得∠MAN=.9