【高考领航】2022高考数学总复习8-3圆的方程练习苏教版【A组】一、填空题1.已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC面积的最小值是________.解析:lAB:x-y+2=0,圆心(1,0)到l的距离d==,∴AB边上的高的最小值是-1.∴S△min=×(2)×(-1)=3-.答案:3-2.(2022·乌鲁木齐二诊)已知直线3x+4y-24=0与坐标轴的两个交点及坐标原点都在一个圆上,则该圆的半径是________.解析:依题意得,直线3x+4y-24=0与坐标轴的两个交点为A(8,0),B(0,6),由题知线段AB为圆的直径,且|AB|=10,因此圆的半径是5.答案:53.若圆x2+y2-ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称,过点C(-a,a)的圆P与y轴相切,则圆心P的轨迹方程为________.解析:由圆x2+y2-ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y=x-1上,故可得a=2,即点C(-2,2),所以过点C(-2,2)且与y轴相切的圆P的圆心的轨迹方程为(x+2)2+(y-2)2=x2,整理即得y2+4x-4y+8=0.答案:y2+4x-4y+8=04.(2022·扬州二模)已知圆心在x轴上,半径为的圆O位于y轴左侧,且与直线x+y=0相切,则圆O的方程是________.解析:设圆心为(a,0)(a<0),则=,∴a=-,∴圆O的方程为(x+)2+y2=5.答案:(x+)2+y2=55.(2022·高考辽宁卷)已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则C的方程为6\n________.解析:依题意设所求圆的方程为:(x-a)2+y2=r2,把所给两点坐标代入方程得,解得所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=10.答案:(x-2)2+y2=106.已知圆心在x轴上,半径为的圆O位于y轴左侧,且与直线x+y=0相切,则圆O的方程是________.解析:由题意可设圆O的方程为(x-a)2+y2=2(a<0),由题意得=,即|a|=2,所以a=-2,故所求圆O的方程为(x+2)2+y2=2.答案:(x+2)2+y2=27.(2022·高考重庆卷)设圆C位于抛物线y2=2x与直线x=3所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆C的半径能取到的最大值为________.解析:如图所示,若圆C的半径取到最大值,需圆与抛物线及直线x=3同时相切,设圆心的坐标为(a,0)(a<3),则圆的方程为(x-a)2+y2=(3-a)2,与抛物线方程y2=2x联立得x2+(2-2a)x+6a-9=0,由判别式Δ=(2-2a)2-4(6a-9)=0,得a=4-,故此时半径为3-(4-)=-1.答案:-1二、解答题8.如图,圆C通过不同的三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1),已知圆C在点P处的切线斜率为1,试求圆C的方程.6\n解:设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则k、2为x2+Dx+F=0的两根,∴k+2=-D,2k=F,即D=-(k+2),F=2k,又圆过R(0,1),故1+E+F=0.∴E=-2k-1.故所求圆的方程为x2+y2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0,圆心坐标为(,).∵圆C在点P处的切线斜率为1,∴kCP=-1=,∴k=-3.∴所求圆C的方程为x2+y2+x+5y-6=0.9.(2022·高考课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.(1)求圆C的方程;(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB,求a的值.解:(1)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+2,0),(3-2,0).故可设C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=(2)2+t2,解得t=1.则圆C的半径为=3.所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组消去y,得方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.由已知可得,判别式Δ=56-16a-4a2>0.因此x=,从而x1+x2=4-a,x1x2=.①由于OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0.又y1=x1+a,y2=x2+a,所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.②6\n由①②得a=-1,满足Δ>1,故a=-1.【B组】一、填空题1.(2022·镇江二模)动点A在圆x2+y2=1上移动时,它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是________.解析:设中点M(x,y),则动点A(2x-3,2y),∵A在圆x2+y2=1上,∵(2x-3)2+(2y)2=1,即(2x-3)2+4y2=1.答案:(2x-3)2+4y2=12.(2022·海南海口)过点C(-1,1)和D(1,3),圆心在x轴上的圆的方程是________解析:∵圆心在x轴上,∴可设圆心坐标为(a,0),故圆的方程为(x-a)2+y2=r2.又∵圆过C、D两点,将其坐标代入圆的方程,得解得a=2,r=,所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=10.答案:(x-2)2+y2=103.(2022·南京第一次质检)平移直线x-y+1=0使其与圆(x-2)2+(y-1)2=1相切,则平移的最短距离为________.解析:圆心(2,1)到直线的距离d==.所以,平移的最短距离为-1.答案:-14.(2022·宿迁模拟)已知两点A(0,-3)、B(4,0),若点P是圆x2+y2-2y=0上的动点,则△ABP面积的最小值为________.解析:如图,过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P,这时△ABP的面积最小.直线AB的方程为+=1,即3x-4y-12=0,圆心C到直线AB的距离为d==,∴△ABP的面积的最小值为×5×=.答案:5.圆x2-2x+y2-3=0的圆心到直线x+y-3=0的距离为________.解析:∵圆心(1,0),6\n∴d==1.答案:16.(2022·苏州模拟)设圆C同时满足三个条件:①过原点;②圆心在直线y=x上;③截y轴所得的弦长为4,则圆C的方程是________.解析:由题意可设圆心A(a,a),如图,则22+22=2a2,解得a=±2,r2=2a2=8.所以圆C的方程是(x+2)2+(y+2)2=8或(x-2)2+(y-2)2=8.答案:(x+2)2+(y+2)2=8或(x-2)2+(y-2)2=87.圆心在曲线y=(x>0)上,且与直线3x+4y+3=0相切的面积最小的圆的方程为________.解析:设圆心坐标为(a>0),则圆心到直线3x+4y+3=0的距离d(a)==≥(4+1)=3,当且仅当a=2时等号成立.此时圆心坐标为,圆的半径为3.答案:(x-2)2+2=9二、解答题8.(2022·东北三校模拟)已知圆C:x2+y2-4x-6y+12=0,点A(3,5).(1)求过点A的圆的切线方程;(2)O点是坐标原点,连结OA,OC,求△AOC的面积S.解:(1)⊙C:(x-2)2+(y-3)2=1.当切线的斜率不存在时,有直线x=3,C(2,3)到直线的距离为1,满足条件.当k存在时,设直线y-5=k(x-3),即y=kx+5-3k,=1,解得k=.∴过点A的圆的切线方程为:x=3或y=x+.(2)|AO|==,lOA:5x-3y=0,点C到直线OA的距离d=,S=d|AO|=.9.(2022·盐城二检)已知圆M过两点A(1,-1),B(-1,1),且圆心M在直线x+y6\n-2=0上(1)求圆M的方程;(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA、PB是圆M的两条切线,A、B为切点,求四边形PAMB面积的最小值.解:(1)设圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),根据题意得:解得a=b=1,r=2,故所求圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.(2)由题意知,四边形PAMB的面积为S=S△PAM+S△PBM=AM·PA+BM·PB.又AM=BM=2,PA=PB,所以S=2PA,而PA==,即S=2.因此要求S的最小值,只需求PM的最小值即可,即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得PM的值最小,所以PMmin==3,所以四边形PAMB面积的最小值为Smin=2=2=2.6