【高考领航】2022高考数学总复习2-7幂函数练习苏教版【A组】一、填空题1．幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f的值为________．解析：设f(x)＝xa，则＝4a，∴a＝－.∴f(x)＝x－.∴f＝2.答案：22．设函数f(x)＝若f(x0)＞1，则x0的取值范围是________．解析：由或得x0∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)3．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是________(填序号)．①y＝x(x∈0，＋∞)；②y＝3x(x∈R)；③y＝x(x∈R)；④y＝lg|x|(x≠0)．答案：③4．设函数f1(x)＝x，f2(x)＝x－1，f3＝x2，则f1(f2(f3(2022)))＝________.解析：本例是关于幂函数复合函数求值问题，可从里向外层层求解．∵f3(x)＝x2，∴f3(2022)＝20222.又∵f2(x)＝x－1，∴f2(f3(2022))＝f2(20222)＝(20222)－1＝2022－2.又∵f1(x)＝x，∴f1(f2(f3(2022)))＝f1(2022－2)＝(2022－2)6\n＝2022－1＝.5．(2022·韶关模拟)若幂函数y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2的图象不经过原点，则实数m的值为________．答案：1或26．已知幂函数f(x)＝x－，若f(a＋1)＜f(10－2a)，则实数a的取值范围是________．解析：∵f(x)＝x－的定义域为(0，＋∞)，且f(x)在(0，＋∞)上递减，由f(a＋1)＜f(10－2a)，得故3＜a＜5.答案：(3,5)7．f(x)＝xn2－3n(n∈Z)是偶函数，且y＝f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则n＝________.解析：因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以n2－3n<0，即0<n<3，又因为f(x)是偶函数，所以n2－3n是偶数，只有n＝1或2满足条件．答案：1或2二、解答题8．已知函数f(x)＝－xm且f(4)＝－.(1)求m的值；(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．解：(1)∵f(4)＝－，∴－4m＝－.∴m＝1.(2)f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减，证明如下：任取0＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(－x1)－(－x2)＝(x2－x1)(＋1)．∵0＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，＋1＞0.6\n∴f(x1)－f(x2)＞0.∴f(x1)＞f(x2)，f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减．9．已知函数f(x)＝.(1)求f(x)的单调区间；(2)比较f(－π)与f(－)的大小．解：(1)法一：f(x)＝＝1＋(x＋2)－2，其图象可由幂函数y＝x－2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，如图，所示该函数在(－2，＋∞)上是减函数，在(－∞，－2)上是增函数．法二：f(x)＝＝1＋(x＋2)－2，设x1＜x2，x1，x2∈R，则f(x2)－f(x1)＝[1＋(x2＋2)－2]－[1＋(x1＋2)－2]＝－＝，当x1，x2∈(－∞，－2)时，f(x2)－f(x1)＞0，y＝f(x)在(－∞，－2)上是增函数，即增区间为(－∞，－2)；当x1，x2∈(－2，＋∞)时，f(x2)－f(x1)＜0，y＝f(x)在(－2，＋∞)上是减函数，即减区间为(－2，＋∞)．(2)∵图象关于直线x＝－2对称，又∵－2－(－π)＝π－2＜－－(－2)＝2－，∴f(－π)＞f(－)．【B组】一、填空题6\n1．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点，则f(4)＝________.解析：＝2α⇒α＝－，∴f(x)＝x－，f(4)＝4－＝.答案：2．幂函数f(x)＝xα2－4α－5(α为常数)为偶函数，且在(0，＋∞)上为减函数，则整数α的值是________．解析：易知α2－4α－5<0，∴－1<α<5.∴α＝0,1,2,3,4.代入验证，可得α＝1或3.答案：1或33．若(a＋1)－<(3－2a)－，则a的取值范围是________．解析：∵函数y＝x－在定义域(0，＋∞)上递减，∴即<a<.答案：4．幂函数y＝x－p2＋p＋(p∈Z)为偶函数，且f(1)<f(4)，则实数p＝________.解析：由幂函数性质知，∵f(1)<f(4)，∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴－p2＋p＋>0，解得－1<p<3.又∵p∈Z，∴p＝0,1,2.当p＝0或2时，幂函数y＝x是非奇非偶函数．当p＝1时，幂函数y＝x2是偶函数，故p＝1.答案：15．(2022·常州月考)若函数f(x)＝，则不等式－≤f(x)≤的解集为________．解析：函数f(x)＝和函数f(x)＝±的图象如图所示，从图象上可以看出不等式的解集是两个无限区间．当x<0时，是区间(－∞，－3]，当x≥0时，是区间[16\n，＋∞)，故不等式－≤f(x)≤的解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)6．已知函数f(x)＝xα(0<α<1)，对于下列命题：①若x>1，则f(x)>1；②若0<x<1，则0<f(x)<1；③当x>0时，若f(x1)>f(x2)，则x1>x2；④若0<x1<x2，则<.其中正确的命题序号是________．解析：作出y＝xα(0<α<1)在第一象限内的图象，如图所示，可判定①②③正确，又表示图象上的点与原点连线的斜率，当0<x1<x2时应有>.故④错．答案：①②③7．(2022·南通调研)已知(0.71.3)m<(1.30.7)m，则实数m的取值范围是________．答案：(0，＋∞)二、解答题8．(2022·镇江模拟)已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．解：(1)m2＋m＝m(m＋1)(m∈N*)，而m与m＋1中必有一个为偶数．∴m(m＋1)为偶数，∴函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．(2)∵函数f(x)经过点(2，)，∴＝2(m2＋m)－1，即2＝2(m2＋m)－1，6\n∴m2＋m＝2，解得：m＝1或m＝－2.又∵m∈N*，∴m＝1.由f(2－a)＞f(a－1)得，解得1≤a＜.∴a的取值范围为.9．已知f(x)＝x(n＝2k，k∈Z)的图象在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x2－x)＞f(x＋3)．解：由条件知＞0，－n2＋2n＋3＞0，解得－1＜n＜3.又n＝2k，k∈Z，∴n＝0,2.当n＝0,2时，f(x)＝x，∴f(x)在R上单调递增．∴f(x2－x)＞f(x＋3)转化为x2－x＞x＋3.解得x＜－1或x＞3.∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．6
