课时作业(七)一、选择题1．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上( )A．是增函数 B．是减函数C．有最大值D．有最小值答案 A2．函数f(x)＝5x2－2x的单调递减区间是( )A．(，＋∞)B．(－∞，)C．(－，＋∞)D．(－∞，－)答案 B3．函数y＝xlnx在区间(0,1)上是( )A．单调增函数B．单调减函数C．在(0，)上是减函数，在(，1)上是增函数D．在(0，)上是增函数，在(，1)上是减函数答案 C解析 f′(x)＝lnx＋1，当0<x<时，f′(0)<0；当<x<1时，f′(x)>0.4．函数y＝4x2＋的单调增区间为( )A．(0，＋∞)B．(，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，－)答案 B解析 y′＝8x－，令y′＞0，得8x－＞0，即x3＞，∴x＞.7\n5．若函数y＝a(x3－x)的递减区间为(－，)，则a的取值范围是( )A．a＞0B．－1＜a＜0C．a＞1D．0＜a＜1答案 A解析 y′＝a(3x2－1)，解3x2－1＜0，得－＜x＜.∴f(x)＝x3－x在(－，)上为减函数．又y＝a·(x3－x)的递减区间为(－，)．∴a＞0.6.已知f′(x)是f(x)的导函数，y＝f′(x)的图像如图所示，则f(x)的图像只可能是( )答案 D7\n解析 从y＝f′(x)的图像可以看出，在区间(a，)内，导数值递增；在区(，b)内，导数值递减，即函数f(x)的图像在(a，)内越来越陡峭，在(，b)内越来越平缓．7．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)答案 D解析 f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝ex(x－2)，由f′(x)>0，得x>2.∴f(x)在(2，＋∞)上是增函数．二、填空题8．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．答案 (0，＋∞)解析 若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则其导数y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0.9．若函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数p的取值范围是________．答案 [－1，＋∞)解析 f′(x)＝1＋≥0对x>1恒成立，即x2＋p≥0对x>1恒成立，∴p≥－x2(x>1)．∴p≥－1.10．若函数y＝ax3－ax2－2ax(a≠0)在[－1,2]上为增函数，则a∈________.答案 (－∞，0)解析 y′＝ax2－ax－2a＝a(x＋1)(x－2)>0，∵当x∈(－1,2)时，(x＋1)(x－2)<0，∴a<0.11．f(x)＝(x∈R)在区间[－1,1]上是增函数，则a∈________.答案 [－1,1]解析 y′＝2·，7\n∵f(x)在[－1,1]上是增函数，∴y′在(－1,1)上大于等于0，即2·≥0.∵(x2＋2)2＞0，∴x2－ax－2≤0对x∈(－1,1)恒成立．令g(x)＝x2－ax－2，则 即 ∴－1≤a≤1.即a的取值范围是[－1,1]．三、解答题12．已知f(x)＝ax3＋3x2－x－1在R上是减函数，求a的取值范围．解析 ∵f′(x)＝3ax2＋6x－1，又f(x)在R上递减，∴f′(x)≤0对x∈R恒成立．即3ax2＋6x－1≤0对x∈R恒成立，显然a≠0.∴ ∴a≤－3.即a的取值范围为(－∞，－3]．13．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．解析 f′(x)＝2x－＝，要使f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，即≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立．∵x>0，∴2x3－a≥0，∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．∴a≤(2x3)min.∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是单调递增的，∴(2x3)min＝16，∴a≤16.当a＝16时，f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)＝0.∴a的取值范围是a≤16.14．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋1，a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)设函数f(x)在区间(－，－)内是减函数，求a的取值范围．7\n解析 (1)对f(x)求导，得f′(x)＝3x2＋2ax＝3x(x＋a)．①当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0恒成立．∴f(x)的递增区间是(－∞，＋∞)；②当a>0时，由于f′(x)分别在(－∞，－α)和(0，＋∞)上都恒为正，所以f(x)的递增区间是(－∞，－a)，(0，＋∞)；由于f′(x)在(－a,0)上恒为负，所以f(x)的递减区间是(－a,0)；③当a<0时，在x∈(－∞，0)和x∈(－a，＋∞)上均有f′(x)>0，∴f(x)的递增区间是(－∞，0)，(－a，＋∞)；在(0，－a)上，f′(x)<0，f(x)的递减区间是(0，－a)．(2)由(1)知，(－，－)⊆(－a,0)，∴－a≤－.∴a≥1.15．若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．分析 本题主要考查借助函数的单调性来求导的能力及解不等式的能力．解析 ∵f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1.当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不符合题意．当a－1>1，即a>2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．而当x∈(1,4)时，f′(x)<0；当x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0.∴4≤a－1≤6，即5≤a≤7.∴a的取值范围是[5,7]．16．已知f(x)＝在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．解析 因为f(x)＝x－＋，所以f′(x)＝1＋.又f(x)在[1，＋∞)上是增函数，7\n所以当x∈[1，＋∞)时，恒有f′(x)＝1＋≥0，即a≥－x2，x∈[1，＋∞)．所以a≥－1.故所求a的取值范围是[－1，＋∞)．17．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝0.(1)试用含a代数式表示b；(2)求f(x)的单调区间．分析 可先求f′(x)，再由f′(－1)＝0，可得用含a的代数式表示b，这时f(x)中只含一个参数a，然后令f′(x)＝0，求得两根，通过列表，求得f(x)的单调区间，并注意分类讨论．解析 (1)依题意，得f′(x)＝x2＋2ax＋b.由f′(－1)＝0，得1－2a＋b＝0.∴b＝2a－1.(2)由(1)，得f(x)＝x3＋ax2＋(2a－1)x.故f′(x)＝x2＋2ax＋2a－1＝(x＋1)(x＋2a－1)．令f′(x)＝0，则x＝－1或x＝1－2a.①当a>1时，1－2a<－1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，1－2a)(1－2a，－1)(－1，＋∞)f′(x)＋－＋f(x)单调递增单调递减单调递增由此得，函数f(x)的单调增区间为(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，单调减区间为(1－2a，－1)．②当a＝1时，1－2a＝－1，此时f′(x)≥0恒成立，且仅在x＝－1处f′(x)＝0，故函数f(x)的单调增区间为R.③当a<1时，1－2a>－1，同理可得函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(1－2a，＋∞)，单调减区间(－1，1－2a)．综上：当a>1时，函数f(x)的单调增区间为(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，单调减区间为(1－2a，－1)；当a＝1时，函数f(x)的单调增区间为R；当a<1时，函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(1－2a，＋∞)，单调减区间为(－1,1－2a)．►重点班·选做题7\n18．设函数f(x)＝(x>0且x≠1)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)已知2>xa对任意x∈(0,1)成立，求实数a的取值范围．解析 (1)f′(x)＝－.若f′(x)＝0，则x＝.当f′(x)>0，即0<x<时，f(x)为增函数；当f′(x)<0，即<x<1或x>1时，f(x)为减函数．所以f(x)的单调增区间为(0，)，单调减区间为[，1)和(1，＋∞)．(2)在2>xa两边取对数，得ln2>alnx.由于0<x<1，所以>.①由(1)的结果知：当x∈(0,1)时，f(x)≤f()＝－e.为使①式对所有x∈(0,1)成立，当且仅当>－e，即a>－eln2.7
