课时作业(二十)一、选择题1．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°③教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的所有椅子都坏了④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n边形的内角和是(n－2)·180°(n∈N*，且n≥3)A．①② B．①③④C．①②④D．②④答案 C2．下列说法正确的是( )A．类比推理是从一般到一般的推理B．类比推理是从个别到个别的推理C．类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理D．类比推理是从个别到一般的推理答案 C3．平面内平行于同一直线的两直线平行，由类比推理，我们可以得到( )A．空间中平行于同一直线的两直线平行B．空间中平行于同一平面的两直线平行C．空间中平行于同一直线的两平面平行D．空间中平行于同一平面的两平面平行答案 D4．在等差数列{an}中，若an>0，公差d≠0，则有a4a6>a3a7.类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，公比q≠1，则关于b5，b7，b4，b8的一个不等关系正确的是( )A．b5b7>b4b8B．b7b8>b4b5C．b5＋b7<b4＋b8D．b7＋b8<b4＋b5答案 C二、填空题5．正方形面积为边长的平方，则立体几何中，与之类比的图形是________，结论是________．6\n答案 正方体 正方体的体积为边长的立方6．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看做(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr.①①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径R的球，若将R看做(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：_______________________________________；②式可用语言叙述为______________________________．答案 ①(πR3)′＝4πR2②球的体积函数的导数等于球的表面积函数7．如图(1)有关系＝，如图(2)有关系：＝________.答案 8．在以原点为圆心，半径为r的圆上有一点P(x0，y0)，则圆的面积S圆＝πr2，过点P的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.在椭圆＋＝1(a>b>0)中，当离心率e趋近于0时，短轴b就趋近于长半轴a，此时椭圆就趋近于圆．类比圆的面积公式得椭圆面积S椭圆＝__________.类比过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程，则过椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方程为________．答案 πab ＋＝19．若数列{an}是等差数列，bn＝(a1＋a2＋…＋an)，则数列{bn}也是等差数列．类比上述性质，若数列{cn}是各项都为正数的等比数列，则dn＝________时，数列{dn}也是等比数列．答案 6\n10．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，前n项积为Tn，类比等差数列的性质，填写等比数列的相应性质(m，n，k，ω∈N*)．等差数列等比数列an＝a1＋(n－1)dan＝am＋(n－m)d若m＋n＝k＋ω，则an＋an＝ak＋aω若m＋n＝2ω，则am＋an＝2aωSn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列答案 an＝a1·qn－1an＝am·qn－mam·an＝ak·aωam·an＝aSn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列11．如图甲，在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，则AB2＝BD·BC，该结论称为射影定理．如图乙，在三棱锥ABCD中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O为垂足，且O在△BCD内，类比射影定理，探究S△ABC、S△BCO、S△BCD之间满足的关系式是________．思路分析 常用方法：(1)将点扩展为线；(2)将线(边长)扩展为面(面积)；(3)将面(面积)扩展为体(体积)．解析 6\n连接DO延长交BC于E，连接AE.∵AD⊥面ABC，∴AD⊥BC.∵AO⊥面ABC，∴AO⊥BC.∴BC⊥面ADO，即BC⊥面ADE.∴BC⊥AE.在△ADE中，由射影定理，得AE2＝EO·ED.∴(BC·AE)(BC·AE)＝(BC·EO)(BC·ED)．∴S＝S△BCO·S△BCD.12．对于大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a，而52的“分裂”中最大的数是b，则a＋b＝________.答案 30三、解答题13．观察等式sin220°＋sin240°＋sin20°·sin40°＝；sin228°＋sin232°＋sin28°·sin32°＝.请写出一个与以上两个等式规律相同的等式．解析 ∵20°＋40°＝60°，28°＋32°＝60°，而cos60°＝，sin60°＝，6\n∴归纳到一般有：“若α＋β＝γ，则sin2α＋sin2β＋sinα·sinβ＝sin2γ”．►重点班·选做题14.如右图所示，在平面上，设ha，hb，hc分别是△ABC三条边上的高，P为△ABC内任意一点，P到相应三边的距离分别为pa，pb，pc，可以得到结论＋＋＝1.证明此结论，并通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．解析 P为三棱锥A－BCD内任意一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，ha，hb，hc，hd分别是相应四个面上的高．求证：＋＋＋＝1.证明如下：＝＝，同理＝＝，＝，＝.∴＋＋＋＝＝1.故结论正确．1．(1)已知a、b为实数，且|a|<1，|b|<1，求证：ab＋1>a＋b.6\n(2)已知a、b、c均为实数，且|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证：abc＋2>a＋b＋c.解析 (1)两边作差，得ab＋1－a－b＝(a－1)(b－1)．∵|a|<1，|b|<1，则(a－1)(b－1)>0.∴ab＋1>a＋b.(2)如图点P为斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于M，PN⊥BB1交CC1于点N.①求证：CC1⊥MN；②在任意△DEF中，有余弦定理DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos∠DFE.拓展到空间，类比三角形中的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．解析 (1)证明略．(2)在斜三棱柱ABC－A1B1C1中有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1·cosα其中α为平面CC1B1B与平面CC1A1A所成二面角的大小．∵CC1⊥平面PMN，∴α＝∠MNP.在△PMN中，PM2＝PN2＋MN2－2PN·MNcosα，得PM2·CC＝PN2·CC＋MN2·CC－2(PN·CC1)(MN·CC1)·cosα.由于SBCC1B1＝PN·CC1，SACC1A1＝MN·CC1，SABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，∴S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1·cosα.6
