【高考调研】2022高中数学第三章数系的扩充与复数的引入单元测试题新人教A版选修2-2一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a，b∈R，则a＝b是(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数的( )A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 C2.＝( )A．－2＋4iB．－2－4iC．2＋4iD．2－4i答案 A3．若w＝－＋i，则w4＋w2＋1等于( )A．1B．0C．3＋iD．－1＋i答案 B4．在(＋i)12的展开式中，所有奇数项的和等于( )A．－1B．1C．0D．i答案 B5．已知＝2＋i，则复数z＝( )A．－1＋3iB．1－3iC．3＋iD．3－i答案 B解析 ∵＝2＋i，∴＝(2＋i)(1＋i)＝2＋3i＋i2＝1＋3i.∴z＝1－3i.6．复数2等于( )A．4iB．－4iC．2iD．－2i答案 C4\n7．复数等于( )A．1＋iB．－1＋iC．1－iD．－1－i答案 B8．复数1＋＝( )A．1＋2iB．1－2iC．－1D．3答案 A解析 1＋＝1＋＝1＋2i，故选A.9．在复数集C内分解因式2x2－4x＋5等于( )A．(x－1＋i)(x－1－i)B．(x－＋i)(x－－i)C．2(x－1＋i)(x－1－i)D．2(x＋1＋i)(x＋1－i)答案 B10．复数i3(1＋i)2＝( )A．2B．－2C．2iD．－2i答案 A解析 由题意得i3(1＋i)2＝－i·2i＝－2i2＝2，选A.11．复数z＝的共轭复数是( )A.＋iB.－iC．1－iD．1＋i答案 B解析 z＝＝＝＋i，＝－i，故选B.12．已知复数z＝1－i，则＝( )A．2iB．－2iC．2D．－2答案 B4\n二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知复数z＝2＋i，则z4－4z3＋6z2－4z－1＝________.答案 －6解析 z4－4z3＋6z2－4z－1＝(z4－4z3＋6z2－4z＋1)－2＝(z－1)4－2＝(1＋i)4－2＝[(1＋i)2]2－2＝(2i)2－2＝－4－2＝－6.14．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝________(n为正整数)．答案 015．已知＝a＋3i，则a＝________.答案 －2－3i16．设z∈C，z＋||＝2＋i，则z＝________.答案 ＋i解析 设z＝a＋bi，则||＝.∴a＋bi＋＝2＋i.∴∴∴z＝＋i.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)若复数z＝m2＋m－2＋(2m2－m－3)i(m∈R)的共轭复数对应的点在第一象限，求实数m的集合．解析 由题意得＝m2＋m－2－(2m2－m－3)i.∴即解得1<m<.18．(12分)计算(＋i)3.解析 方法一 ∵(＋i)3＝(＋i)2·(＋i)＝(－＋i)(＋i)＝(i)2－()2＝－－＝－1.方法二 原式＝()3＋3×()2×i＋3××(i)2＋(i)3＝＋i－－i＝－1.19．(12分)已知复平面内点A、B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ4\n＋icos2θ，其中θ∈(0,2π)，设对应的复数为z.(1)求复数z；(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．解析 (1)z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋i(cos2θ－1)＝－1－i(2sin2θ)．(2)点P的坐标为(－1，－2sin2θ)．由点P在直线y＝x，得－2sin2θ＝－.∴sin2θ＝，∴sinθ＝±.又∵θ∈(0,2π)，∴θ＝，π，π，π.20．(12分)已知复数z＝，若z2＋az＋b＝1－i，试求实数a、b的值．解析 化简得z＝1＋i代入方程，得a＋b＋(2＋a)i＝1－i.∴ ∴21．(12分)设z＝(a2－a－6)＋i(a∈R)，试判断复数z能否为纯虚数？并说明理由．解析 假设复数z能为纯虚数，则∴∴不存在a使复数z为纯虚数．22．(12分)已知a∈R，问复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z对应点的轨迹是什么？解析 由a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1，得z的实部为正数，z的虚部为负数．∴复数z对应的点在第四象限．设z＝x＋yi(x，y∈R)，则消去a2－2a，得y＝－x＋2(x≥3)．∴复数z对应点的轨迹是一条射线，其方程为y＝－x＋2(x≥3)．4
