数系的扩充与复数的引入(建议用时：40分钟)一、选择题1．如图所示，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )A．A B．BC．CD．DB [设z＝a＋bi(a，b∈R)，且a<0，b>0，则z的共轭复数为a－bi，其中a<0，－b<0，故应为B点．]2．已知a，b∈C，下列命题正确的是( )A．3i<5iB．a＝0⇔|a|＝0C．若|a|＝|b|，则a＝±bD．a2≥0B [A选项中，虚数不能比较大小；B选项正确；C选项中，当a，b∈R时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|＝，但i≠－＋i或－i；D选项中，当a∈R时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i2＝－1<0.]3．复数的共轭复数为( )A．－＋iB．＋iC．－iD．－－iD [＝＝＝－＋i，共轭复数为－－i.故选D.]4．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝( )A．3－4iB．3＋4iC．4－3iD．4＋3iA [由a＋i＝2－bi可得a＝2，b＝－1，则(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.]5．如果复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数m等于( )4
A．1B．－1C．D．－B [∵(m2＋i)(1＋mi)＝(m2－m)＋(m3＋1)i是实数，m∈R，∴由a＋bi(a，b∈R)是实数的充要条件是b＝0，得m3＋1＝0，即m＝－1.]二、填空题6．设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.3 [∵|a＋bi|＝＝，∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.]7．复数z满足方程i＝1－i，则z＝________.－1＋i [∵i＝1－i，∴＝＝＝－i(1－i)＝－1－i，∴z＝－1＋i.]8．若复数(－6＋k2)－(k2－4)i所对应的点在第三象限，则实数k的取值范围是________．(－，－2)∪(2，) [由已知得∴4<k2<6.∴－<k<－2或2<k<.]三、解答题9．计算：(1)(1－i)(1＋i)；(2)＋.[解] (1)法一：(1－i)(1＋i)＝(1＋i)＝(1＋i)＝＋i＋i＋i2＝－1＋i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)＝(1－i2)＝2＝－1＋i.(2)＋＝＋＝＋4
＝i＋＝i－1.10．已知复数z与(z＋2)2－8i均是纯虚数，求复数z.[解] 设z＝bi(b∈R，b≠0)，则(z＋2)2－8i＝(2＋bi)2－8i＝(4－b2)＋(4b－8)i，∵(z＋2)2－8i为纯虚数，∴4－b2＝0且4b－8≠0.∴b＝－2.∴z＝－2i.1．设z是复数，则下列命题中的假命题是( )A．若z2≥0，则z是实数 B．若z2<0，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0D．若z是纯虚数，则z2<0C [设z＝a＋bi(a，b∈R)，选项A，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，则故b＝0或a，b都为0，即z为实数，正确．选项B，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，则则故z一定为虚数，正确．选项C，若z为虚数，则b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误．选项D，若z为纯虚数，则则z2＝－b2<0，正确．]2．复数z＝(m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限A [z＝＝＝[(m－4)－2(m＋1)i]，其实部为(m－4)，虚部为－(m＋1)，由得此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限．]3．已知i为虚数单位，则复数z＝的虚部为________．－1 [z＝＝＝－i，因此虚部为－1.]4．已知复数z1＝i(1－i)3，若|z|＝1，则|z－z1|的最大值为________．2＋1 [|z1|＝|i(1－i)3|＝|i|·|1－i|3＝2.如图所示，由|z|＝1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0,0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，－2)．所以|z－z14
|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆半径)＝2＋1.]5．已知z，w为复数，(1＋3i)z为实数，w＝且|w|＝5，求z，w.[解] 设z＝x＋yi，(x，y∈R)，所以(1＋3i)z＝(x－3y)＋(3x＋y)i，又(1＋3i)z为实数，所以3x＋y＝0，即y＝－3x，所以w＝＝＝[(2x－3x)＋(－6x－x)i]＝－(1＋7i)，又因为|w|＝5，所以||＝5，所以x＝±5.当x＝5时，z＝5－15i，当x＝－5时，z＝－5＋15i.w＝±(1＋7i)．4
