第一章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列表述中正确的是( )A．{0}＝∅B．{(1,2)}＝{1,2}C．{∅}＝∅D．0∈N【答案】D 【解析】由集合的性质可知，∅表示没有任何元素的集合，而{0}表示有一个元素0，故A错误；{(1,2)}表示有一个元素，是点的集合，而{1,2}表示有2个元素的集合，是数集，故B错误；∅表示没有任何元素的集合，而{∅}表示有一个元素∅，故C错误．选D．2．已知集合A＝{1,2}，B＝{1}，则下列关系正确的是( )A．B∉AB．B∈AC．B⊆AD．A⊆B【答案】C 【解析】因两个集合之间不能用“∈或∉”，首先排除选项A、B，因为集合A＝{1,2}，B＝{1}，所以集合B中的元素都是集合A中的元素，由子集的定义知B⊆A．故选C．3．“－2<x<4”是“x＜4”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据(－2,4)(－∞，4)，即“－2<x<4”是“x＜4”的充分不必要条件．故选A．4．命题p：“x2－3x－4＝0”，命题q：“x＝4”，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】根据题意，p：“x2－3x－4＝0”，即x＝4或－1，则有若q：x＝4成立，则p：“x2－3x－4＝0”成立，反之若p：“x2－3x－4＝0”成立，则q：x＝4不一定成立，即p是q的必要不充分条件．故选B．5．“”是“>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】因为⇒>0，>0⇒或，所以“5
”是“>0”的充分不必要条件．故选A．6．已知集合P＝{a，b}，Q＝{M|M⊆P}，则P与Q的关系为( )A．P⊆QB．Q⊆PC．P∈QD．P∉Q【答案】C 【解析】因为集合P的子集有∅，{a}，{b}，{a，b}，所以集合Q＝{∅，{a}，{b}，{a，b}}，所以P∈Q.故选C．7．设全集U＝A∪B，定义：A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，集合A，B分别用圆表示，则下列图中阴影部分表示A－B的是( )A B C D【答案】C 【解析】因为A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，所以A－B是集合A中的元素去掉A∩B中的元素构成的集合．故选C．8．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，2]B．(2,4]C．[2,4]D．(－∞，4]【答案】D 【解析】因为B⊆A，当B＝∅时，即m＋1≥2m－1，所以m≤2；当B≠∅时，有所以2＜m≤4.综上可得m≤4.故选D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列命题正确的有( )A．A∪∅＝∅B．∁U(A∪B)＝∁UA∪∁UBC．A∩B＝B∩AD．∁U(∁UA)＝A【答案】CD 【解析】在A中，A∪∅＝A，故A错误；在B中，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)，故B错误；在C中，A∩B＝B∩A，故C正确；在D中，∁U(∁UA)＝A，故D正确．故选CD．10．若x2－x－2＜0是－2＜x＜a的充分不必要条件，则实数a的值可以是( )A．1B．2C．3D．4【答案】BCD 【解析】由x2－x－2＜0，解得－1＜x＜2.又x2－x－2＜0是－2＜x＜a的充分不必要条件，所以(－1，2)(－2，a)，则a≥2.所以实数a的值可以是2,3,4.故选BCD．5
11．已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，则满足条件的实数x可能为( )A．2B．－2C．－3D．1【答案】AC 【解析】由题意得2＝3x2＋3x－4或2＝x2＋x－4，若2＝3x2＋3x－4，即x2＋x－2＝0，所以x＝－2或x＝1，检验：当x＝－2时，x2＋x－4＝－2，与元素互异性矛盾，舍去；当x＝1时，x2＋x－4＝－2，与元素互异性矛盾，舍去．若2＝x2＋x－4，即x2＋x－6＝0，所以x＝2或x＝－3，经验证x＝2或x＝－3为满足条件的实数x.故选AC．12．下列条件能成为x＞y的充分条件的是( )A．xt2＞yt2B．xt＞ytC．x2＞y2D．0＜＜【答案】AD 【解析】由xt2＞yt2可知，t2＞0，故x＞y，故A为充分条件；由xt＞yt可知，t≠0，当t＜0时，有x＜y，当t＞0时，有x＞y，故B不是；由x2＞y2，则|x|＞|y|，推不出x＞y，故C不是；由0＜＜，因为函数y＝在区间(0，＋∞)上单调递减，可得x＞y＞0，故D是充分条件．故选AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合A＝{x|x2＋ax＋2＝0}，且满足1∈A，则集合A的子集个数为________．【答案】4 【解析】依题意得1＋a＋2＝0，解得a＝－3，则x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2，所以A＝{1,2}，所以集合A的子集个数为22＝4.14．已知集合A＝{－2,1}，B＝{x|ax＝2}，若A∪B＝A，则实数a值集合为________．【答案】{0，－1,2} 【解析】因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，a＝0；当B≠∅时，B＝，则＝－2或＝1，解得a＝－1或2，所以实数a值集合为{0，－1,2}．15．(2021年黄冈高一期中)设条件p：|x－2|＜3，条件q：0＜x＜a，其中a为正常数，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是____________．【答案】{a|0＜a≤5} 【解析】由|x－2|＜3，得－3＜x－2＜3，即－1＜x＜5.所以p：－1＜x＜5.因为q：0＜x＜a，a为正常数，所以要使p是q的必要不充分条件，则0＜a≤5.16．命题p：∃a，b∈R，方程ax＋b＝0无解的否定是________________________，命题p的否定是________(填“真”或“假”)命题．5
【答案】∀a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一解 假四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知集合A＝{－2,2}，B＝{x|(x－2)(ax－1)＝0}．(1)若a＝1，求A∩B；(2)若A∪B＝A，求实数a的值．解：(1)因为A＝{－2,2}，当a＝1时，B＝{1,2}，所以A∩B＝{2}．(2)由A∪B＝A得B⊆A．当a＝0时，B＝{2}符合题意，当a≠0时，由(x－2)(ax－1)＝0得a(x－2)＝0，而B⊆A，所以＝2或＝－2，解得a＝或a＝－.所以a的取值集合为.18．已知全集为R，A＝{x|(x－2)2>1}，B＝，求：(1)A∩B；(2)A∪(∁RB)．解：(1)A＝{x|x－2＜－1或x－2＞1}＝{x|x＜1或x＞3}，B＝{x|x＜－2或x＞－1}，所以A∩B＝{x|－1＜x＜1或x＜－2或x＞3}．(2)∁RB＝{x|－2≤x≤－1}，所以A∪(∁RB)＝{x|x＜1或x＞3}．19．已知集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－2或x＞6}．(1)若a＝5，求A∪B；(2)若A∩B＝∅，求实a的取值范围．解：(1)若a＝5，则A＝{x|5≤x≤8}，又B＝{x|x＜－2或x＞6}，所以A∪B＝{x|x＜－2或x≥5}．(2)因为A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－2或x＞6}，A∩B＝∅，所以，解得－2≤a≤3.所以实数a的取值范围是[－2,3]．20．已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，分别求满足下列条件的a的值．(1)9∈(A∩B)；(2){9}＝A∩B．解：(1)因为9∈(A∩B)，所以9∈B且9∈A．所以2a－1＝9或a2＝9，所以a＝5或a＝±3.检验知a＝5或a＝－3.(2)因为{9}＝A∩B，所以9∈(A∩B)．所以a＝5或a＝－3.当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，此时A∩B＝{－4,9}，与A∩B5
＝{9}矛盾，故舍去；当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，A∩B＝{9}，满足题意．综上可知a＝－3.21．已知集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－6或x>1}．(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围；(2)若A∪B＝B，求a的取值范围．解：(1)因为A∩B＝∅，所以解得－6≤a≤－2.所以a的取值范围是{a|－6≤a≤－2}．(2)因为A∪B＝B，所以A⊆B，所以a＋3<－6或a>1，解得a<－9或a>1.所以a的取值范围是{a|a<－9或a>1}．22．设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.证明：充分性：因为∠A＝90°，所以a2＝b2＋c2.于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，所以x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0.所以[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0.所以该方程有两根x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)．同样另一方程x2＋2cx－b2＝0也可化为x2＋2cx－(a2－c2)＝0，即[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0，所以该方程有两根x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a)．可以发现x1＝x3，所以方程有公共根．必要性：设x是方程的公共根，则①＋②，得x＝－(a＋c)，x＝0(舍去)．代入①并整理，得a2＝b2＋c2.所以∠A＝90°.所以结论成立．5
