考点规范练25 平面向量基本定理及坐标表示一、非标准1.已知点A(-1,5)和向量a=(2,3),若=3a,则点B的坐标为( ) A.(7,4)B.(7,14)C.(5,4)D.(5,14)2.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ为实数,(a+λb)∥c,则λ=( )A.B.C.1D.23.在正方形ABCD中,已知A(0,1),B(1,1),D(0,2),则=( )A.(0,1)B.(-1,0)C.(-1,-1)D.(1,1)4.设点A(2,0),B(4,2),若点P在直线AB上,且||=2||,则点P的坐标为( )A.(3,1)B.(1,-1)C.(3,1)或(1,-1)D.无数多个5.已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|= . 6.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴,b=(2,-1),则a=.7.在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C所对的边,且3a+4b+5c=0,则a∶b∶c= . 8.已知a=(1,2),b=(-3,2),是否存在实数k,使得ka+b与a-3b共线,且方向相反?6\n9.已知平行四边形的三个顶点分别是A(4,2),B(5,7),C(-3,4),求第四个顶点D的坐标.10.(2022辽宁沈阳模拟)设O在△ABC的内部,且有+2+3=0,则△ABC的面积和△AOC的面积之比为( )A.3B.C.2D.6\n11.已知梯形ABCD,其中AB∥CD,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为 . 12.已知=a,=b,=c,=d,=e,设t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),那么t为何值时,C,D,E三点在一条直线上?13.如图,已知△ABC的面积为14,D,E分别为边AB,BC上的点,且AD∶DB=BE∶EC=2∶1,AE与CD交于点P.设存在λ和μ,使=λ=μ=a,=b.(1)求λ及μ;(2)用a,b表示;(3)求△PAC的面积.6\n##一、非标准1.D 解析:设点B的坐标为(x,y),则=(x+1,y-5).由=3a,得解得2.A 解析:由于a+λb=(1+λ,2),故(a+λb)∥c⇒4(1+λ)-6=0,解得λ=,故选A.3.D 解析:由正方形ABCD的性质知,故=(1,0),=(0,1)+(1,0)=(1,1).4.C 解析:设P(x,y),则由||=2||,得=2=-2=(2,2),=(x-2,y),即(2,2)=2(x-2,y),x=3,y=1,P(3,1),或(2,2)=-2(x-2,y),x=1,y=-1,P(1,-1).5. 解析:|b|=,由λa+b=0,得b=-λa,故|b|=|-λa|=|λ||a|,所以|λ|=.6.(-1,1)或(-3,1) 解析:由|a+b|=1,a+b平行于x轴,得a+b=(1,0)或(-1,0),则a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1),或a=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1).7.20∶15∶12 解析:∵3a+4b+5c=0,∴3a()+4b+5c=0.∴(3a-5c)+(3a-4b)=0.在△ABC中,∵不共线,6\n∴解得∴a∶b∶c=a∶a∶a=20∶15∶12.8.解:假设存在实数k,则ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2).a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).若向量ka+b与向量a-3b共线,则必有(k-3)×(-4)-(2k+2)×10=0,解得k=-.这时ka+b=,所以ka+b=-(a-3b).即两个向量恰好方向相反,故题设的实数k存在.9.解:设顶点D(x,y).若平行四边形为ABCD,则由=(1,5),=(-3-x,4-y),得所以若平行四边形为ACBD,则由=(-7,2),=(5-x,7-y),得所以若平行四边形为ABDC,则由=(1,5),=(x+3,y-4),得所以综上所述,第四个顶点D的坐标为(-4,-1)或(12,5)或(-2,9).10.A 解析:设AC,BC的中点分别为M,N,则已知条件可化为()+2()=0,即+2=0,所以=-2.说明M,O,N共线,即O为中位线MN上的三等分点,S△AOC=S△ANC=S△ABC=S△ABC,所以=3.11.(2,4) 解析:∵在梯形ABCD中,DC=2AB,∴=2.6\n设点D的坐标为(x,y),则=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y),=(2,1)-(1,2)=(1,-1),∴(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2),∴解得故点D的坐标为(2,4).12.解:由题设,知=d-c=2b-3a,=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得=k,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.①若a,b共线,则t可为任意实数;②若a,b不共线,则有解之得t=.综上,可知a,b共线时,t可为任意实数;a,b不共线时,t=.13.解:(1)由于=a,=b,则=a+b,a+b.=λ=λ,=μ=μ,,即a+μ=λ.解得λ=,μ=.(2)=-a+=-a+b.(3)设△ABC,△PAB,△PBC的高分别为h,h1,h2,h1∶h=||∶||=μ=,S△PAB=S△ABC=8.h2∶h=||∶||=1-λ=,S△PBC=S△ABC=2,∴S△PAC=4.6
