考点规范练10 导数的概念及运算一、非标准1.已知函数f(x)=+1,则的值为( ) A.-B.C.D.02.(2022湖北咸宁模拟)函数f(x)=mx3+(m+1)x2+x+2,若f'(1)=18,则m等于( )A.4B.3C.5D.63.若曲线y=x2+ax+b在点P(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则( )A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-14.已知奇函数y=f(x)在区间(-∞,0]上的解析式为f(x)=x2+x,则切点横坐标为1的切线方程是( )A.x+y+1=0B.x+y-1=0C.3x-y-1=0D.3x-y+1=05.已知曲线y=x3在点(a,b)处的切线与直线x+3y+1=0垂直,则a的值是( )A.-1B.±1C.1D.±36.(2022河南郑州模拟)已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2),则ab等于( )A.-8B.-6C.-1D.57.曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为 . 8.若函数f(x)=x3-f'(-1)·x2+x+5,则f'(1)= . 9.求下列函数的导数:(1)y=xtanx;(2)y=;(3)y=;(4)y=(x+1)(x+2)(x+3).10.(2022陕西渭南质检)已知曲线y=x3+x-2在点P0处的切线l1平行于直线4x-y-1=0,且点P0在第三象限.(1)求点P0的坐标;(2)若直线l⊥l1,且l也过切点P0,求直线l的方程.11.在等比数列{an}中,a1=2,a8=4,f(x)=x(x-a1)·(x-a2)…(x-a8),f'(x)为函数f(x)的导函数,则f'(0)等于( )A.0B.26C.29D.212\n12.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( )A.B.C.D.13.已知函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N+.若a1=16,则a1+a3+a5的值是 . 14.已知曲线y=x3+,(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程;(3)求斜率为1的曲线的切线方程.15.已知函数f(x)=,且f(x)的图象在x=1处与直线y=2相切.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若P(x0,y0)为f(x)图象上的任意一点,直线l与f(x)的图象切于P点,求直线l的斜率k的取值范围.##一、非标准1.A 解析:=-=-f'(1)=-=-.2.B 解析:∵f'(x)=3mx2+2(m+1)x+1,∴f'(1)=3m+2m+2+1=18,∴m=3.3.A 解析:由已知得y'=2x+a,且切线斜率k=y'|x=0=a=1.又切线过点(0,b),故0-b+1=0,得b=1.综上知a=1,b=1.4.B 解析:由函数y=f(x)为奇函数,在5.B 解析:由y=x3知y'=3x2,故切线斜率k=y'|x=a=3a2.又切线与直线x+3y+1=0垂直,故3a2·=-1,得a2=1,即a=±1.故选B.6.A 解析:由题意得y=kx+1过点A(1,2),故2=k+1,即k=1.因为y'=3x2+a,又直线y=kx+1与曲线相切于点A(1,2),所以k=3+a,即1=3+a,所以a=-2.将点A(1,2)代入曲线方程y=x3+ax+b,可解得b=3,所以ab=(-2)3=-8.故选A.7.4x-y-3=0 解析:因为y'=3lnx+4,所以y'|x=1=4,所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=4(x-1),化为一般式方程为4x-y-3=0.\n8.6 解析:因为f(x)=x3-f'(-1)·x2+x+5,所以f'(x)=x2-2f'(-1)·x+1.将x=-1代入上式得f'(-1)=1+2f'(-1)+1,故f'(-1)=-2.再令x=1,得f'(1)=6.9.解:(1)y'=(xtanx)'=x'tanx+x(tanx)'=tanx+x·'=tanx+x·=tanx+.(2)y'='+'+'=(x-1)'+(2x-2)'+(x-3)'=-x-2-4x-3-3x-4=-.(3)y'='==.(4)y'=(x+1)'(x+2)(x+3)+(x+1)'=(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)+(x+1)(x+3)=3x2+12x+11.10.解:(1)由y=x3+x-2,得y'=3x2+1.由已知令3x2+1=4,解得x=±1.当x=1时,y=0;当x=-1时,y=-4.又∵点P0在第三象限,∴切点P0的坐标为(-1,-4).(2)∵直线l⊥l1,l1的斜率为4,∴直线l的斜率为-.∵l过切点P0,且点P0的坐标为(-1,-4),∴直线l的方程为y+4=-(x+1),即x+4y+17=0.11.D 解析:∵f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),∴f'(x)=x'(x-a1)…(x-a8)+x'=(x-a1)…(x-a8)+x'.∴f'(0)=(-a1)·(-a2)·…·(-a8)+0=a1·a2·…·a8=(a1·a8)4=(2×4)4=(23)4=212.12.D 解析:∵y=,∴y'===-1,当且仅当ex=,即x=0时,“=”成立.又y'<0,∴-1≤y'<0.∵切线的倾斜角为α,则-1≤tanα<0.又α∈∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A,则切线的斜率为y'.\n∴切线方程为y-(x-x0),即y=·x-.∵点P(2,4)在切线上,∴4=2,即-3+4=0,∴-4+4=0,∴(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.(3)设切点为(x0,y0),则=1,x0=±1,切点为(-1,1)或,∴切线方程为y-1=x+1或y-=x-1,即x-y+2=0或3x-3y+2=0.15.解:(1)对函数f(x)求导,得f'(x)=.∵f(x)的图象在x=1处与直线y=2相切,∴∴a=4,b=1,∴f(x)=.(2)∵f'(x)=,∴直线l的斜率k=f'(x0)==4.令t=,t∈(0,1],则k=4(2t2-t)=8,∴k∈.
