活页作业 数列的综合应用一、选择题1．(2022·佛山模拟)在各项均为正数的等比数列{an}中，a3a5＝4，则数列{log2an}的前7项和等于( )A．7 B．8 C．27 D．28解析：在各项均为正数的等比数列{an}中，由a3a5＝4，得a＝4，a4＝2.设bn＝log2an，则数列{bn}是等差数列，且b4＝log2a4＝1.所以{bn}的前7项和S7＝＝7b4＝7.答案：A2．(理)(2022·西安质检)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( )A．①和⑳B．⑨和C．⑨和⑪D．⑩和⑪2．(文)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a100＋a101，且A、B、C三点共线(该直线不过点O)，则S200等于( )A．100 B．101 C．200 D．201解析：∵＝a100＋a101且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，∴a100＋a101＝1，∴S200＝＝100×(a1＋a200)＝100×1＝100.答案：A7\n3．在数列{an}中，对任意n∈N*，都有＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判断：①k不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为an＝a·bn＋c(a≠0，b≠0,1)的数列一定是等差比数列．其中正确的判断为( )A．①② B．②③ C．③④ D．①④解析：若k＝0时，则an＋2－an＋1＝0，因为an＋2－an＋1可能为分母，故无意义，故k不可能为0，①正确；若等差、等比数列为常数列，则②③错误．由定义知④正确．答案：D4.(金榜预测)在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x＋y＋z的值为( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：由题知表格中第三列成首项为4，公比为的等比数列，故有x＝1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，，故其公比为，所以y＝5×3＝，同理z＝6×4＝，故x＋y＋z＝2.答案：B5．(理)(2022·邢台模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于( )A．6 B．7 C．8 D．9解析：设等差数列的公差为d，则由a4＋a6＝－6得2a5＝－6，∴a5＝3，又a1＝－11，∴3＝－11＋4d，∴d＝2，7\n∴Sn＝－11n＋×2＝n2－12n＝(n－6)2－36∴当n＝6时，Sn有最小值．答案：A5．(文)(2022·辽阳模拟)已知数列{an}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0的n的最大值为( )A．11 B．19 C．20 D．21解析：∵<－1，且Sn有最大值，∴a10>0，a11<0，且a10＋a11<0，∴S19＝＝19·a10>0，S20＝＝10(a10＋a11)<0，所以使得Sn>0的n的最大值为19，故选B.答案：B6．(理)设M(x∈R)为坐标平面上一点，记f(x)＝||2－2，且f(x)的图象与射线y＝0(x≥0)交点的横坐标由小到大依次组成数列{an}，则|an＋3－an|＝( )A．24π B．36π C．24 D．36解析：f(x)＝||2－2＝[(cosx＋cosx)2＋2]－2＝2cosx，令f(x)＝2cosx＝0.∴x＝kπ＋，x＝12k＋6.∴an＝12n＋6(n∈N*)．∴|an＋3－an|＝|12(n＋3)＋6－(12n＋6)|＝36.答案：D6．(文)已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于( )A．24 B．32 C．48 D．647\n解析：依题意有anan＋1＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1，两式相除得＝2，所以a1，a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…也成等比数列，而a1＝1，a2＝2，所以a10＝2×24＝32，a11＝1×25＝32，又因为an＋an＋1＝bn，所以b10＝a10＋a11＝64.答案：D二、填空题7．已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)成立．数列{an}满足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2.则数列的通项公式为an＝________.解析：令x＝2，y＝2n－1，则f(x·y)＝f(2n)＝2f(2n－1)＋2n－1f(2)，即f(2n)＝2f(2n－1)＋2n－1a1，即an＝2an－1＋2n，＝＋1，所以数列为等差数列，由此可得an＝n·2n.答案：n·2n8．(2022·黄石模拟)已知函数f(x)＝a·bx的图象过点A，B(3,1)，若记an＝log2f(n)(n∈N*)，Sn是数列{an}的前n项和，则Sn的最小值是________．三、解答题9．(理)在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N)．(1)试判断数列{}是否为等差数列；(2)设{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前n项为Sn；(3)若λan＋≥λ，对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．解：(1)∵a1≠0，∴an≠0，7\n∴由已知可得－＝3(n≥2)，故数列{}是等差数列．(2)由(1)的结论可得bn＝1＋(n－1)×3，所以bn＝3n－2，∴Sn＝＝.(3)将an＝＝代入λan＋≥λ9．(文)在数列{an}中，a1＝1，并且对于任意n∈N*，都有an＋1＝.(1)证明数列为等差数列，并求{an}的通项公式；(2)设数列{anan＋1}的前n项和为Tn，求使得Tn>的最小正整数n.解：(1)＝1，因为an＋1＝，所以－＝2，∴数列是首项为1，公差为2的等差数列，∴＝2n－1，从而an＝2n－1.(2)因为anan＋1＝＝，所以Tn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan＋17\n＝＝.由Tn＝>，得n>，最小正整数n为91.10．(2022·湖南高考)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．7\n4000万元．7
