课时提升作业(四十八)双 曲 线一、选择题(每小题5分,共25分)1.设P是双曲线=1上一点,F1,F2分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于( )A.1 B.17C.1或17D.以上答案均不对【解析】选B.由双曲线定义||PF1|-|PF2||=8,又|PF1|=9,所以|PF2|=1或17,但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c-a=6-4=2>1,所以|PF2|=17.【误区警示】本题极易忽视双曲线的右顶点到右焦点距离的最小值为2>1,从而误选C.2.(2022·天水模拟)若双曲线=1的左焦点与抛物线y2=-8x的焦点重合,则m的值为( )A.3 B.4 C.5 D.6【解析】选A.因为双曲线=1的左焦点与抛物线y2=-8x的焦点重合,所以m+m-2=4,即m=3.【加固训练】与椭圆C:=1共焦点且过点(1,)的双曲线的标准方程为( )A.x2-=1B.y2-2x2=1C.-=1D.-x2=1【解析】选C.椭圆=1的焦点坐标为(0,-2),(0,2),设双曲线的标准方程为=1(m>0,n>0),-12-\n则解得m=n=2,故选C.3.(2022·沈阳模拟)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M在双曲线的左支上,且|MF2|=7|MF1|,则此双曲线离心率的最大值为( )A.B.C.2D.【解析】选A.因为|MF2|=7|MF1|,所以|MF2|-|MF1|=6|MF1|,即2a=6|MF1|≥6(c-a),故8a≥6c,即e=4.(2022·贵阳模拟)已知双曲线=1(a>0)的两条渐近线与以椭圆=1的左焦点为圆心,半径为的圆相切,则双曲线的离心率为( )A.B.C.D.【解析】选A.双曲线=1(a>0)的渐近线方程为y=±;椭圆=1的左焦点为(-4,0),因为渐近线与以椭圆=1的左焦点为圆心、半径为的圆相切,所以=,解得a=4,所以双曲线的离心率为.5.(2022·温州八校联考)设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为 ( )A.B.C.D.【解析】选C.不妨设P是双曲线右支上的一点,根据定义可得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a,又|F1F2|=2c,且c>a,所以△PF1F2的最小内角为∠PF1F2=30°,根据余弦定理可得cos∠PF1F2==,又e=-12-\n,即c=ae代入化简可得e=.【方法技巧】双曲线离心率的求解方法(1)直接法:利用已知条件直接求出a,c的值,再利用离心率公式直接求解.(2)利用渐近线方程:利用离心率与渐近线斜率之间的关系e=求解.(3)利用关于a,c的齐次式:利用已知条件,寻找a与c的关系式,然后求解.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2022·成都模拟)已知圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交点A,B都在某双曲线上,且A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,则此双曲线的标准方程为 .【解析】易知圆与y轴的交点坐标为(0,3),(0,-3),因为圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交点A,B都在某双曲线上,所以双曲线的焦点在y轴上,且a=3,又A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,所以c=9,所以b2=72,所以此双曲线的标准方程为=1.答案:=17.已知F是双曲线-=1的左焦点,P是双曲线右支上的动点,若A(1,4),则|PF|+|PA|的最小值是 .【解析】因为A点在双曲线的两支之间,且双曲线右焦点为F′(4,0),于是由双曲线的定义得|PF|-|PF′|=2a=4.而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5.两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当A,P,F′三点共线时,等号成立.答案:9【方法技巧】与双曲线有关的最值问题的求法与双曲线有关的最值问题,经常借助于双曲线的定义,将表达式转化为线段之和求最值,然后再借助于平面几何的性质求解.8.过已知双曲线=1(b>0)的左焦点F1作☉O:x2+y2=4的两条切线,记切点为A,B,双曲线的左顶点为C,若∠ACB=120°,则双曲线的离心率为 .【解析】如图,-12-\n因为∠OCA=60°,|OC|=|OA|=2,所以∠AOC=60°,∠AF1C=30°,所以e==2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.过双曲线=1的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,F1为左焦点.(1)求|AB|.(2)求△AOB的面积.【解析】(1)由双曲线的方程得a=,b=,所以c==3,F1(-3,0),F2(3,0).直线AB的方程为y=(x-3).设A(x1,y1),B(x2,y2),由得5x2+6x-27=0.所以x1+x2=-,x1x2=-.所以|AB|=|x1-x2|-12-\n(2)直线AB的方程变形为x-3y-3=0.所以原点O到直线AB的距离为d=所以S△AOB=|AB|·d=××=10.已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.(1)求双曲线C2的方程.(2)若直线l:y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且·>2(其中O为原点),求k的取值范围.【解析】(1)设双曲线C2的方程为=1(a>0,b>0),则a2=4-1=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1,故C2的方程为-y2=1.(2)将y=kx+代入-y2=1,得(1-3k2)x2-6kx-9=0.由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得-12-\n所以k2≠且k2<1. ①设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,所以·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+)(kx2+)=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+2=又由·>2,得>2,解得<k2<3, ②由①②得,<k2<1.故k的取值范围为(-1,-)∪(,1).(20分钟 40分)1.(5分)(2022·杭州模拟)如图,F1,F2分别是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M,若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是( )-12-\n【解析】选B.由可解得即Q.由,可解得即P设PQ的中点为N,则N而M(3c,0).所以kMN·=-1,即整理得2c3=3a2c,即e2=解得e=【一题多解】本题还可以用如下方法求解:直线BF1的方程为y=x+b,由得P由得Q.从而N点坐标为,则直线MN的方程为从而得M-12-\n又M(3c,0),则c+=3c,得a2=2b2,得e=【加固训练】已知双曲线mx2-ny2=1(m>0,n>0)的离心率为2,则椭圆mx2+ny2=1的离心率为( )【解析】选B.由已知双曲线的离心率为2,得:=2,解得:m=3n,又m>0,n>0,所以m>n,即故由椭圆mx2+ny2=1得所以所求椭圆的离心率为:e=2.(5分)设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O,所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.(,2]B.[,2)C.(,+∞)D.[,+∞)【解析】选A.设双曲线的焦点在x轴上,则由作图易知双曲线的渐近线的斜率必须满足所以即有-12-\n又双曲线的离心率为所以<e≤2.【误区警示】本题极易漏掉其原因是对问题考虑不全,造成漏解.【方法技巧】双曲线离心率取值范围的验证技巧已知双曲线=1(a>0,b>0).则:(1)当a>b>0时,双曲线的离心率满足1<e<.(2)当a=b>0时,e=(亦称为等轴双曲线).(3)当b>a>0时,e>.3.(5分)(2022·苏州模拟)已知P为双曲线C:=1上的点,点M满足||=1,且·=0,则当||取得最小值时的点P到双曲线C的渐近线的距离为 .【解析】因为点M满足||=1,所以点M的轨迹是以原点为圆心,1为半径的单位圆.不妨设P为双曲线右支上的任一点,因为·=0,所以OM⊥PM,所以△OPM为直角三角形,且∠OMP=90°,|OP|为该直角三角形的斜边长;因为P为双曲线C:=1上的点,在Rt△OPM中,要使直角边||最小,则只需|OP|最小,因为当点P为双曲线C的右支与x轴的交点时,|OP|最小,此时P(3,0),所以此时点P到双曲线C的渐近线的距离为答案:4.(12分)设A,B分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程.(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使-12-\n+=t,求t的值及点D的坐标.【解析】(1)由题意知a=所以一条渐近线为y=x.即bx-2y=0.所以所以b2=3,所以双曲线的方程为=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.将直线方程代入双曲线方程得x2-16x+84=0,则x1+x2=16,y1+y2=12.所以所以t=4,点D的坐标为(4,3).5.(13分)(能力挑战题)双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,坐标原点到直线AB的距离为,其中A(a,0),B(0,-b).(1)求双曲线的方程.(2)若B1是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点,过点B作直线交双曲线于点M,N,求时,直线MN的方程.【解析】(1)设直线AB:-=1,由题意,所以所以双曲线方程为-=1.(2)由(1)得B(0,-3),B1(0,3),设M(x1,y1),N(x2,y2),易知直线MN的斜率存在.-12-\n设直线MN:y=kx-3,所以所以3x2-(kx-3)2=9,整理得(3-k2)x2+6kx-18=0,①所以x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2)-6=,x1x2=,y1y2=k2(x1x2)-3k(x1+x2)+9=9.因为=(x1,y1-3),=(x2,y2-3),·=0,所以x1x2+y1y2-3(y1+y2)+9=0,即+9-+9=0,解得k2=5,所以k=±代入①有解,所以lMN:y=±x-3.【加固训练】双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.已知||,||,||成等差数列,且与同向.(1)求双曲线的离心率.(2)设直线AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.【解析】(1)设|OA|=m-d,|AB|=m,|OB|=m+d,由勾股定理可得(m-d)2+m2=(m+d)2,得d=m,tan∠AOF=,tan∠AOB=tan2∠AOF=由倍角公式,得则离心率e=-12-\n(2)不妨设过F与l1垂直的直线方程为y=-(x-c),与双曲线方程=1联立,将a=2b,c=b代入,化简有解得b=3,故所求的双曲线方程为=1.-12-
