课时提升作业(五十五)古典概型一、选择题(每小题5分,共25分)1.甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人,则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是 ( )A.B.C.D.【解析】选A.(甲送给丙、乙送给丁)、(甲送给丁,乙送给丙)、(甲、乙都送给丙)、(甲、乙都送给丁)共四种情况,其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种,所以选A.2.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的点数分别为x,y,则满足log2xy=1的概率为 ( )A.B.C.D.【解析】选C.由log2xy=1得2x=y.又x∈{1,2,3,4,5,6},y∈{1,2,3,4,5,6},所以满足题意的有x=1,y=2或x=2,y=4或x=3,y=6,共3种情况.所以所求的概率为=.3.(2022·贵阳模拟)将一枚骰子连续抛掷两次,则向上点数之差的绝对值不大于3的概率是 ( )A.B.C.D.【解析】选B.抛掷骰子两次,有36种等可能的结果,如表:1234561√√√√2√√√√√3√√√√√√4√√√√√√5√√√√√6√√√√所求概率P==4.(2022·宿州模拟)一颗质地均匀的正方体骰子,其六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6,将这一颗骰子连续抛掷三次,观察向上的点数,则三次点数依次构成等差数列的概率为 ( )-7-\nA.B.C.D.【解析】选A.基本事件总数为6×6×6,事件“三次点数依次成等差数列”包含的基本事件有(1,1,1),(1,2,3),(3,2,1),(2,2,2),(1,3,5),(5,3,1),(2,3,4),(4,3,2),(3,3,3),(2,4,6),(6,4,2),(3,4,5),(5,4,3),(4,4,4),(4,5,6),(6,5,4),(5,5,5),(6,6,6)共18个,所求事件的概率P==.5.将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同,甲从袋中摸出一个小球,其号码为a,放回后,乙从此袋中再摸出一个小球,其号码为b,则使不等式a-2b+4<0成立的事件发生的概率为 ( )A.B.C.D.【解析】选C.由题意知(a,b)的所有可能结果有4×4=16个.其中满足a-2b+4<0的有(1,3),(1,4),(2,4),(3,4),共4个,所以所求概率为.【加固训练】甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6).设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x,y,则满足复数x+yi的实部大于虚部的概率是 ( )A.B.C.D.【解析】选B.总共有36种情况.当x=6时,y有5种情况;当x=5时,y有4种情况;当x=4时,y有3种情况;当x=3时,y有2种情况;当x=2时,y有1种情况.所以P==.二、填空题(每小题5分,共15分)6.有一个奇数列,1,3,5,7,9,…,现在进行如下分组,第一组有1个数为1,第二组有2个数为3,5,第三组有3个数为7,9,11,…,依此类推,则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为 .【解析】由已知可得前九组共有1+2+3+…+9=45个奇数,第十组共有10个奇数,分别是91,93,95,97,99,101,103,105,107,109这10个数,其中恰为3的倍数的数有93,99,105三个,故所求概率为P=.答案:-7-\n7.如图,沿田字型的路线从A往N走,且只能向右或向下走,随机地选一种走法,则经过点C的概率是 .【解析】按规定要求从A往N走只能向右或向下,所有可能走法有:A→D→S→J→N,A→D→C→J→N,A→D→C→M→N,A→B→C→J→N,A→B→C→M→N,A→B→F→M→N共6种,其中经过C点的走法有4种,所以所求概率P==.【一题多解】本题还可以用如下方法解决:由于从A点出发后只允许向右或向下走,记向右走为1,向下走为2,欲到达N点必须两次向右,两次向下即有两个2两个1.所以基本事件空间Ω={(1122),(1212),(1221),(2112),(2121),(2211)}共6种不同结果,而只有先右再下或先下再右两类情形经过C点,即前两个数字必须一个1一个2,所以事件“经过C点”含有的基本事件为(1212),(1221),(2112),(2121)共4个,所以P==.答案:8.连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6),记“两次向上的数字之和等于m”为事件A,则P(A)最大时,m= .【解析】m可能取到的值有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,所有可能结果如表:123456123456723456783456789456789105678910116789101112出现7的次数最多.所以,两次向上的数字之和等于7对应的事件发生的概率最大.答案:7三、解答题9.(10分)某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级.现从一批该零件中随机抽取20个,对其等级进行统计分析,得到频率分布表如下:等级12345-7-\n频率0.05m0.150.35n(1)在抽取的20个零件中,等级为5的恰有2个,求m,n.(2)在(1)的条件下,从等级为3和5的所有零件中,任意抽取2个,求抽取的2个零件等级恰好相同的概率.【解析】(1)由频率分布表得0.05+m+0.15+0.35+n=1,即m+n=0.45.由抽取的20个零件中,等级为5的恰有2个,得n==0.1,所以m=0.45-0.1=0.35.(2)由(1)得,等级为3的零件有3个,记作x1,x2,x3;等级为5的零件有2个,记作y1,y2.从x1,x2,x3,y1,y2中任意抽取2个零件,所有可能的结果为(x1,x2),(x1,x3),(x1,y1),(x1,y2),(x2,x3),(x2,y1),(x2,y2),(x3,y1),(x3,y2),(y1,y2),共10种.记事件A为“从零件x1,x2,x3,y1,y2中任取2件,其等级相同”.则A包含的基本事件有(x1,x2),(x1,x3),(x2,x3),(y1,y2),共4种.故所求概率为P(A)==0.4.【加固训练】将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5)和一个正四面体(四个面分别标有数字1,2,3,4)同时抛掷1次,规定“正方体向上的面上的数字为a,正四面体的三个侧面上的数字之和为b”.设复数为z=a+bi.(1)若集合A={z|z为纯虚数},用列举法表示集合A.(2)求事件“复数在复平面内对应的点(a,b)满足a2+(b-6)2≤9”的概率.【解析】(1)A={6i,7i,8i,9i}.(2)基本事件的个数为24.设“复数在复平面内对应的点(a,b)满足a2+(b-6)2≤9”的事件为B.当a=0时,b=6,7,8,9满足a2+(b-6)2≤9;当a=1时,b=6,7,8满足a2+(b-6)2≤9;当a=2时,b=6,7,8满足a2+(b-6)2≤9;当a=3时,b=6满足a2+(b-6)2≤9.即B为(0,6),(0,7),(0,8),(0,9),(1,6),(1,7),(1,8),(2,6),(2,7),(2,8),(3,6)共计11个.所以所求概率P=.(20分钟 40分)-7-\n1.(5分)从2名男生和2名女生中,任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,每天一人,则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为 ( )A.B.C.D.【解析】选A.设两名男生为A1,A2,两名女生为B1,B2,依题意任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动的情况有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(B1,B2),(A2,A1),(B1,A1),(B2,A1),(B1,A2),(B2,A2),(B2,B1),共12种,其中星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的情况有(A1,B2),(A1,B1),(A2,B1),(A2,B2),共4种,所以概率为.2.(5分)(2022·梅州模拟)如图所示方格,在每一个方格中填入一个数字,数字可以是1,2,3,4中的任何一个,允许重复.则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为 ( )ABA.B.C.D.【解析】选D.只考虑A,B两个方格的排法.不考虑大小,A,B两个方格有4×4=16(种)排法.要使填入A方格的数字大于B方格的数字,则从1,2,3,4中选2个数字,大的放入A格,小的放入B格,有(4,3),(4,2),(4,1),(3,2),(3,1),(2,1),共6种,故填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为=.3.(5分)(2022·重庆模拟)投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次,第一次出现向上的点数为a,第二次出现向上的点数为b,直线l1的方程为ax-by-3=0,直线l2的方程为x-2y-2=0,则直线l1与直线l2有交点的概率为 .【解析】投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次,向上的点数的结果有36种情况:(1,1),(1,2),…,(6,6),直线l1与直线l2有交点即两直线斜率不相等,b≠2a,所以除(1,2),(2,4),(3,6)这3种情况外,其余都符合题意,即直线l1与直线l2有交点的情况有33种,故所求概率为=.答案:4.(12分)已知集合P={x|x(x2+10x+24)=0},Q={y|y=2n-1,1≤n≤2,n∈N*},M=P∪Q.在平面直角坐标系中,点A的坐标为(x′,y′),且x′∈M,y′∈M,试计算:(1)点A正好在第三象限的概率.-7-\n(2)点A不在y轴上的概率.(3)点A正好落在区域x2+y2≤10上的概率.【解析】由集合P={x|x(x2+10x+24)=0}可得P={-6,-4,0},由Q={y|y=2n-1,1≤n≤2,n∈N*}可得Q={1,3},则M=P∪Q={-6,-4,0,1,3},因为点A的坐标为(x′,y′),且x′∈M,y′∈M,所以满足条件的点A的所有情况为(-6,-6),(-6,-4),(-6,0),(-6,1),(-6,3),…,(3,3),共25种.(1)点A正好在第三象限的可能情况为(-6,-6),(-4,-6),(-6,-4),(-4,-4),共4种,故点A正好在第三象限的概率P1=.(2)点A在y轴上的可能情况为(0,-6),(0,-4),(0,0),(0,1),(0,3),共5种,故点A不在y轴上的概率P2=1-=.(3)点A正好落在区域x2+y2≤10上的可能情况为(0,0),(1,0),(0,1),(3,1),(1,3),(3,0),(0,3),(1,1),共8种,故点A落在区域x2+y2≤10上的概率P3=.5.(13分)(能力挑战题)某人抛掷一枚硬币,出现正面、反面的概率均为,构造数列{an},使得an=记Sn=a1+a2+a3+…+an(n∈N*).(1)求S4=2的概率.(2)若前两次均出现正面,求2≤S6≤6的概率.【解析】(1)某人抛掷一枚硬币4次,共有24种可能.设S4=2为事件A,则A表示抛硬币4次,恰好三次正面向上,一次反面向上,包含4种可能,所以P(A)==.(2)抛6次,若前两次均出现正面,则可能结果有24种.设2≤S6≤6为事件B,S6=2表示4次中2次正面向上,2次正面向下,有6种可能;S6=4表示4次中恰好3次正面向上,1次反面向上,有4种可能;S6=6表示都是正面向上,有1种可能,则B包含6+4+1=11(种)可能,所以P(B)==.【加固训练】为了提高食品的安全度,某食品安检部门调查了一个海水养殖场养殖的鱼的有关情况,安检人员从这个海水养殖场中的不同位置共捕捞出100条鱼,称得每条鱼的质量(单位:kg),并将所得数据进行统计得下表.若规定超过正常生长速度(1.0～1.2kg-7-\n/年)的比例超过15%,则认为所饲养的鱼有问题,否则认为所饲养的鱼没有问题.鱼的质量[1.00,1.05)[1.05,1.10)[1.10,1.15)[1.15,1.20)[1.20,1.25)[1.25,1.30)鱼的条数320353192(1)根据数据统计表,估计数据落在[1.20,1.30)中的概率约为多少,并判断此养殖场所饲养的鱼是否存在问题?(2)上面捕捞的100条鱼中间,从质量在[1.00,1.05)和[1.25,1.30)的鱼中,任取2条鱼来检测,求恰好所取得的鱼的质量在[1.00,1.05)和[1.25,1.30)各有1条的概率.【解析】(1)捕捞的100条鱼中间,数据落在[1.20,1.25)的概率约为P1==0.09;数据落在[1.25,1.30)的概率约为P2==0.02;所以数据落在[1.20,1.30)中的概率约为P=P1+P2=0.11.由于0.11×100%=11%<15%,故饲养的这批鱼没有问题.(2)质量在[1.00,1.05)的鱼有3条,把这3条鱼分别记作A1,A2,A3,质量在[1.25,1.30)的鱼有2条,分别记作B1,B2,那么所有的可能结果有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1}{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共10种,而恰好所取得的鱼的质量在[1.00,1.05)和[1.25,1.30)各有1条有:{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},共6种,所以恰好所取得的鱼的质量在[1.00,1.05)和[1.25,1.30)各有1条的概率为=.-7-
