课时提升作业(三十一)数列求和(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设数列{(-1)n}的前n项和为Sn,则对任意正整数n,Sn= ( )【解析】选D.因为数列{(-1)n}是首项与公比均为-1的等比数列,所以Sn==.【加固训练】若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10=( )A.15 B.12 C.-12 D.-15【解析】选A.因为an=(-1)n(3n-2),所以a1+a2+…+a10=(-1+4)+(-7+10)+…+(-25+28)=3×5=15.2.(2022·青岛模拟)已知Sn=+++…+,若Sm=10,则m= ( )A.11B.99C.120D.121【解析】选C.因为==-,所以Sm=-+-+…+-=-1.由已知得-1=10,所以m=120.故选C.3.设f(n)=2+24+27+210+…+23n+10(n∈N*),则f(n)等于 ( )A.(8n-1)B.(8n+1-1)C.(8n+3-1)D.(8n+4-1)【解析】选D.由题意知f(n)可看作以2为首项,23为公比的等比数列的前n+4项和,所以f(n)=4.(2022·杭州模拟)已知函数f(x)=x2+2bx过(1,2)点,若数列{}的前n项和为Sn,则S2022的值为 ( )-12-\nA.B.C.D.【解析】选D.由已知得b=,所以f(n)=n2+n,所以===-,所以S2022=1-+-+…+-=1-=.5.数列{an}的通项公式an=ncos,其前n项和为Sn,则S2022等于( )A.2022B.1008C.504D.0【解析】选B.因为an=ncos,所以当n为奇数时,an=0,当n为偶数时,an=其中m∈N*,所以S2022=a1+a2+a3+a4+a5+…+a2022=a2+a4+a6+a8+…+a2022=-2+4-6+8-10+12-14+…+2022=(-2+4)+(-6+8)+(-10+12)+…+(-2022+2022)=2×504=1008.故选B.【加固训练】(2022·合肥模拟)已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),Sn是数列{an}的前n项和,则S2022=( )A.22022-1B.3×21008-3C.3×21008-1D.3×22022-2【解析】选B.依题意得an·an+1=2n,an+1·an+2=2n+1,于是有=2,即=2,数列a1,a3,a5,…,a2n-1,…是以a1=1为首项、2为公比的等比数列;数列a2,a4,a6,…,a2n,…是以a2=2为首项、2为公比的等比数列,于是有S2022=(a1+a3+a5+…+a2022)+(a2+a4+a6+…+a2022)=+=3×21008-3,故选B.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设f(x)=,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,可求得f(-12)+f(-11)+f(-10)+…+f(0)+…+f(11)+f(12)+f(13)的值为 .-12-\n【解析】抓住求和式子与函数f(x)=的特征,我们对自变量进行配对,当自变量之和为1时,研究函数值之和,即f(x)+f(1-x)=+=+×=,共计配成13对,故所求的和为.答案:7.(2022·郑州模拟)设数列{an}的通项公式为an=2n-10(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a15|= .【解析】由an=2n-10(n∈N*)知{an}是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由an=2n-10≥0得n≥5,所以当n<5时,an<0,当n≥5时,an≥0,所以|a1|+|a2|+…+|a15|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+…+a15)=20+110=130.答案:130【加固训练】(2022·郑州模拟)若数列{an}是1,,,…,1+++…+,…,则数列{an}的前n项和Sn= .【解析】an=1+++…+==2,所以Sn=2=2=2=2=2n-2+.答案:2n-2+8.(2022·厦门模拟)设f(x)是定义在R上恒不为零的函数,且对任意的x,y∈-12-\nR,都有f(x)·f(y)=f(x+y),若a1=,an=f(n)(n∈N*),则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是 .【解析】由已知可得a1=f(1)=,a2=f(2)=[f(1)]2=,a3=f(3)=f(2)·f(1)=[f(1)]3=,…,an=f(n)=[f(1)]n=,所以Sn=+++…+==1-,因为n∈N*,所以≤Sn<1.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2022·洛阳模拟)已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn.(2)令bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,则由已知得解得所以an=3+2(n-1)=2n+1,Sn=3n+×2=n2+2n.(2)由(1)知an=2n+1,即数列{bn}的前n项和Tn=.-12-\n【误区警示】(1)在解答本题时有两点容易造成失分:①利用方程的思想联立求解在计算上容易出现失误,不能准确求出首项a1和公差d;②在求解数列{bn}的前n项和时,不能熟练准确地利用裂项方法.(2)解决等差数列问题时,还有以下几点容易造成失分,在备考时要高度关注:①对通项公式与前n项和公式记忆错误;②基本公式中的项数或奇偶项的确定不正确;③判断一个数列是否为等差数列时,易忽略验证第一项.【加固训练】(2022·漳州模拟)在数列{an}和{bn}中,已知a1=2,a2=6,an+2an=3(n∈N*),bn=,(1)求证:数列{bn}是等比数列.(2)求数列{an}的通项公式.(3)若pn=,Sn为数列{pn}的前n项和,求Sn.【解析】(1)因为an+2an=3(n∈N*),所以====3,所以数列{bn}是以3为公比的等比数列.(2)由(1)可得到bn=b1qn-1=qn-1=×3n-1=3n,所以bn==3n,所以=31,=32,=33,……=3n-1,所以×××…×=31×32×33×…×3n-1,-12-\n所以=31+2+3+…+(n-1)=.又因为a1=2,所以an=a1×=2×.(3)由(2)得:an=2×,所以pn=====-,所以Sn=p1+p2+p3+…+pn=+++…+=2-=.10.(2022·安徽高考)数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*.(1)证明:数列{}是等差数列.(2)设bn=3n·,求数列{bn}的前n项和Sn.【解析】(1)由已知可得所以{}是以1为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)得=1+(n-1)=n,所以an=n2,从而bn=n·3n,Sn=1·31+2·32+3·33+…+n·3n, ①3Sn=1·32+2·33+3·34+…+(n-1)·3n+n·3n+1.②①-②可得-2Sn=31+32+33+…+3n-n·3n+1=-n·3n+1=【加固训练】已知数列{an}是首项为a1=,公比为q=的等比数列,设bn+2=3loan(n∈N*),数列{cn}满足cn=an·bn.(1)求数列{bn}的通项公式.-12-\n(2)求数列{cn}的前n项和Sn.【解析】(1)由题意,知an=(n∈N*),又bn=3loan-2,故bn=3n-2(n∈N*).(2)由(1),知an=,bn=3n-2(n∈N*),所以cn=(3n-2)×(n∈N*).所以Sn=1×+4×+7×+…+(3n-5)×+(3n-2)×,于是Sn=1×+4×+7×+…+(3n-5)×+(3n-2)×.两式相减,得Sn=+3++…+-(3n-2)×=-(3n+2)×.所以Sn=-×(n∈N*).(20分钟 40分)1.(5分)(2022·重庆模拟)已知数列{an}:,+,++,…,+++…+,…,那么数列{bn}=的前n项和Sn为 ( )A.B.C.D.【解析】选B.an==,所以bn===4(-),2.(5分)已知数列2022,2022,1,-2022,-2022,…,这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2022项之和S2022等于 ( )-12-\nA.2022B.2022C.1D.0【解析】选C.由已知得an=an-1+an+1(n≥2),所以an+1=an-an-1.故数列的前8项依次为2022,2022,1,-2022,-2022,-1,2022,2022.由此可知数列为周期数列,周期为6,且S6=0.因为2022=6×335+5,所以S2022=S5=2022+2022+1+(-2022)+(-2022)=1.【加固训练】在数列{an}中,a1=1,an+1=(-1)n(an+1),记Sn为{an}的前n项和,则S2022= .【解析】由a1=1,an+1=(-1)n(an+1)可得a1=1,a2=-2,a3=-1,a4=0,该数列是周期为4的数列,a2022=a1=1,a2022=a2=-2,a2022=a3=-1,所以S2022=503(a1+a2+a3+a4)+a2022+a2022+a2022=503×(1-2-1+0)+1-2-1=-1008.答案:-1008【方法技巧】数列求和的思路(1)等差数列和等比数列的前n项和公式是求和的基础.一般数列的求和问题往往通过变形整理,转化为这两类特殊数列的和的问题.例如,一类特殊数列的求和通过倒序相加法或错位相减法变形后,就可以转化为这两类数列的求和问题.(2)观察数列的特点是变形的基础.给定的数列有其自身的特点和规律,根据数列的特点和规律选择合适的方法变形是解题的突破口.3.(5分)已知定义在R上的函数f(x)=ax(0<a<1),且f(1)+f(-1)=,若数列{f(n)}(n∈N*)的前n项和等于,则n等于( )A.4B.5C.6D.7【解析】选B.由f(1)+f(-1)=,得a+a-1=,即a+=,解得a=2(舍去)或a=,则数列{f(n)}是首项为a1=,公比q=的等比数列,所以Sn==×=1-,由1-=得=,解得n=5,故选B.4.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn=3n,数列{bn}满足b1=-1,bn+1=bn+(2n-1)(n∈N*).(1)求数列{an}和{bn}的通项公式.-12-\n(2)若cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.【解析】(1)因为Sn=3n,所以Sn-1=3n-1(n≥2),所以an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1(n≥2).当n=1时,2×31-1=2≠S1=a1=3,所以an=又因为bn+1=bn+(2n-1),所以b2-b1=1,b3-b2=3,b4-b3=5,…,bn-bn-1=2n-3.以上各式相加得bn-b1=1+3+5+…+(2n-3)==(n-1)2.因为b1=-1,所以bn=n2-2n.所以数列{an}的通项公式为an=数列{bn}的通项公式为bn=n2-2n.(2)由题意得cn=当n≥2时,Tn=-3+2×0×31+2×1×32+2×2×33+…+2(n-2)×3n-1,所以3Tn=-9+2×0×32+2×1×33+2×2×34+…+2(n-2)×3n,相减得-2Tn=6+2×32+2×33+…+2×3n-1-2(n-2)×3n.所以Tn=(n-2)×3n-(3+32+33+…+3n-1)=(n-2)×3n-=.【加固训练】已知数列{an}和{bn},数列{an}的前n项和记为Sn.若点(n,Sn)在函数y=-x2+4x的图象上,点(n,bn)在函数y=2x的图象上.(1)求数列{an}的通项公式.(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.-12-\n【解析】(1)由已知得Sn=-n2+4n,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n+5.又当n=1时,a1=S1=3,也符合上式,所以an=-2n+5.(2)由已知得bn=2n,结合(1)可得anbn=(-2n+5)2n,所以Tn=3×21+1×22+(-1)×23+…+(-2n+5)2n ①,2Tn=3×22+1×23+(-1)×24+…+(-2n+5)2n+1 ②,②—①可得Tn=-6+(23+24+…+2n+1)+(-2n+5)2n+1=+(-2n+5)2n+1-6=(-2n+7)2n+1-14.5.(13分)(2022·新课标全国卷Ⅱ)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明{an+}是等比数列,并求{an}的通项公式.(2)证明:++…+<.【解题提示】(1)将an+1=3an+1进行配凑,得“an+1+”与“an+”的关系,得证,然后求得{an}的通项公式.(2)求得{}的通项公式,然后证得不等式.【解析】(1)因为a1=1,an+1=3an+1,n∈N*.所以an+1+=3an+1+=3(an+).所以{an+}是首项为a1+=,公比为3的等比数列.所以an+=,所以an=.(2)=.=1,当n>1时,-12-\n【加固训练】等差数列{an}的首项a1=3,且公差d≠0,其前n项和为Sn,且a1,a4,a13分别是等比数列{bn}的b2,b3,b4项.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式.(2)证明:≤++…+<.【解析】(1)设等比数列的公比为q,因为a1,a4,a13分别是等比数列{bn}的b2,b3,b4,所以(a1+3d)2=a1(a1+12d).又a1=3,所以d2-2d=0,所以d=2或d=0(舍去).所以an=3+2(n-1)=2n+1.等比数列{bn}的公比为==3,b1==1.所以bn=3n-1.(2)由(1)知Sn=n2+2n.所以==,所以++…+===-<.因为+≤+=,所以-≥,-12-\n所以≤++…+<.-12-
