课时提升作业(八)对数函数一、选择题(每小题5分,共35分)1.函数f(x)=的定义域是( )A.(-1,+∞)B.[-1,+∞)C.(-1,1)∪(1,+∞)D.[-1,1)∪(1,+∞)【解析】选C.要使有意义,需满足x+1>0且x-1≠0,得x>-1且x≠1.2.(2022·沈阳模拟)函数y=loga(x-1)+2(a>0,a≠1)的图象恒过点( )A.(1,2)B.(2,2)C.(2,3)D.(4,4)【解析】选B.由函数图象的平移公式,我们可得:将函数y=logax(a>0,a≠1)的图象向右平移一个单位,再向上平移2个单位,即可得到函数y=loga(x-1)+2(a>0,a≠1)的图象.又因为函数y=logax(a>0,a≠1)的图象恒过点(1,0),由平移向量公式,易得函数y=loga(x-1)+2(a>0,a≠1)的图象恒过点(2,2).故选B.3.已知a=log23+log2,b=log29-log2,c=log32,则a,b,c的大小关系是( )A.a=b<cB.a=b>cC.a<b<cD.a>b>c【解析】选B.a=log23+log2=log23>log22=1,b=log29-log2=log23=a>1,c=log32<log33=1,所以a=b>c.4.函数y=lg的大致图象为 ( )-8-\n【解析】选D.因为y=lg在(0,+∞)上单调递减且为偶函数,其关于y轴对称,则y=lg的图象是由y=lg的图象向左平移一个单位长度得到的.5.若loga(a2+1)<loga2a<0,则a的取值范围是( )A.(0,1)B.(0,)C.(,1)D.(0,1)∪(1,+∞)【解析】选C.因为loga(a2+1)<0=loga1,a2+1>1,所以0<a<1,所以a2+1>2a,又loga2a<0,即2a>1,所以解得<a<1.【误区警示】本题易忽视loga2a<0这一条件,而误选A.【加固训练】(2022·南京模拟)若log2a<0,则a的取值范围是 .【解析】当2a>1时,因为log2a<0=log2a1,所以<1.因为1+a>0,所以1+a2<1+a,所以a2-a<0,所以0<a<1,所以<a<1.当0<2a<1时,因为log2a<0=log2a1,所以>1.因为1+a>0,所以1+a2>1+a.所以a2-a>0,所以a<0或a>1,此时不合题意.综上所述,a∈(,1).答案:(,1)6.(2022·金华模拟)已知函数f(x)=lg,若f(a)=,则f(-a)=( )-8-\nA.2B.-2C.D.-【解析】选D.由>0得-1<x<1,又f(-x)+f(x)=lg+lg=lg1=0,所以f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数,所以f(-a)=-f(a)=-,选D.【易错警示】忽视对数的真数的限制条件而致误(1)思考简单,直接把f(a)=代入函数式求a.(2)判断函数奇偶性,仅用f(-x)=±f(x),而忽略定义域即真数>0.7.(2022·西城模拟)已知函数f(x)=logm(2-x)+1(m>0,且m≠1)的图象恒过点P,且点P在直线ax+by=1(a>0,b>0)上,那么ab的( )A.最大值为B.最小值为C.最大值为D.最小值为【解析】选A.当2-x=1,即x=1时,y=f(1)=logm(2-1)+1=1,所以函数f(x)的图象恒过点P(1,1).又点P在直线ax+by=1(a>0,b>0)上,所以a+b=1,所以ab≤()2=,当且仅当a=b=时,“=”成立.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2022·成都模拟)已知函数f(x)=则f(log27)的值为 .【解析】f(log27)=f(log27-1)=f(log2)=f(log2)==.答案:9.(2022·上饶模拟)函数y=的值域是 .-8-\n【解析】令u=x2-6x+17=(x-3)2+8≥8,又y=在[8,+∞)上为减函数,所以y≤=-3.答案:(-∞,-3]10.(2022·济南模拟)已知f(x)=log2(x-2),若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3,则m+n的最小值为 .【解析】由已知得f(m)+f(2n)=log2(m-2)+log2(2n-2)=log22(m-2)(n-1),又f(m)+f(2n)=3,所以log22(m-2)(n-1)=3,即2(m-2)(n-1)=23=8,因此(m-2)(n-1)=4,所以m+n=(m-2)+(n-1)+3≥2+3=2×2+3=7,当且仅当m-2=n-1=2,即m=4,n=3时取等号.答案:7(20分钟 40分)1.(5分)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且x∈(-1,0)时,f(x)=2x+,则f(log220)=( )A.1B.C.-1D.-【解析】选C.由f(x-2)=f(x+2),得f(x)=f(x+4),因为4<log220<5,所以f(log220)=f(log220-4)=-f(4-log220)=-f(log2)=-()=-1.2.(5分)(2022·浙江高考)在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax(x>0)的图象可能是( )-8-\n【解题提示】根据对数函数、幂函数的图象与性质逐项分析.【解析】选D.A项中y=xa(x≥0)的图象错误,不符合;B项中y=xa(x≥0)中a>1,y=logax(x>0)中0<a<1,不符合;C项中y=xa(x≥0)中0<a<1,y=logax(x>0)中a>1,不符合;D项中y=xa(x≥0)中0<a<1,y=logax(x>0)中0<a<1,符合,故选D.3.(5分)(2022·长沙模拟)设方程2x+x-3=0的根为α,方程log2x+x-3=0的根为β,则α+β的值是( )A.1B.2C.3D.6【解析】选C.将方程整理得2x=-x+3,log2x=-x+3,如图所示,可知α是指数函数y=2x的图象与直线y=-x+3的交点A的横坐标;β是对数函数y=log2x的图象与直线y=-x+3的交点B的横坐标.由于函数y=2x与函数y=log2x互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称,所以A,B两点也关于直线y=x对称,所以A(α,β),B(β,α).注意到A(α,β)在直线y=-x+3上,所以有β=-α+3,即α+β=3.4.(12分)(2022·大连模拟)已知函数f(x)=log3的定义域为R,值域为[0,2],求m,n的值.【解析】由y=f(x)=log3,得3y=,即(3y-m)x2-8x+3y-n=0,因为x∈R,所以Δ=64-4(3y-m)(3y-n)≥0,即32y-(m+n)×3y+mn-16≤0,由0≤y≤2,得1≤3y≤9,由根与系数的关系得解得m=n=5.5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)=loga是奇函数,(其中a>1)(1)求实数m的值.(2)讨论函数f(x)的增减性.-8-\n(3)当x∈(n,a-2)时,f(x)的值域是(1,+∞),求n与a的值.【解题提示】(1)由f(x)是奇函数,得f(-x)=-f(x)恒成立,求出m的值,再由对数的真数大于0得出m.(2)由a>1,利用单调性的定义判定它的单调性并进行证明.(3)由x∈(n,a-2)时,f(x)的值域为(1,+∞),根据函数的单调性确定出n与a的方程,解出n与a的值.【解析】(1)因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以所以即1-m2x2=1-x2对一切x∈D(D为定义域)都成立,所以m2=1,m=±1,由于>0,所以m=-1.所以f(x)=loga,D=(-∞,-1)∪(1,+∞).(2)当a>1时,f(x)=loga,任取x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,则f(x1)-f(x2)=因为x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,所以所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在(1,+∞)上单调递减;又因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,-1)上也单调递减.(3)当a>1时,要使f(x)的值域是(1,+∞),则loga>1,所以>a,即>0,而a>1,上式化为<0,又f(x)=loga-8-\n=loga(1+),所以当x>1时,f(x)>0;当x<-1时,f(x)<0;因而,欲使f(x)的值域是(1,+∞),必须x>1,所以对上述不等式,当且仅当1<x<时成立,所以解得a=+3,n=1.【加固训练】(2022·青岛模拟)已知函数f(x)=为偶函数.(1)求实数a的值.(2)记集合E={y|y=f(x),x∈{-1,1,2}},λ=lg22+lg2lg5+lg5-,判断λ与E的关系.(3)当x∈[](m>0,n>0)时,若函数f(x)的值域为[2-3m,2-3n],求m,n的值.【解析】(1)因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x),所以所以2(a+1)x=0,因为x∈R且x≠0,所以a=-1.(2)由(1)可知:f(x)=,当x=±1时,f(x)=0;当x=2时,f(x)=,所以E={0,}.因为λ=lg22+lg2lg5+lg5-=lg2(lg2+lg5)+lg5-=lg2+lg5-=lg10-=,所以λ∈E.(3)因为f(x)=,x∈[],所以f′(x)=>0,所以f(x)在[]上单调递增.-8-\n所以所以所以m,n为x2-3x+1=0的两个根,又由题意可知:,且m>0,n>0,所以m>n.所以-8-
