课时提升作业(二十)简单的三角恒等变换一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2022·长治模拟)已知cos,α∈(0,2π),则sin=( )【解析】选A.角是的2倍,所以因为α∈(0,2π),所以∈(0,),所以sin=2.化简:=( )A.sin2αB.tan2αC.sin2D.tan2【解题提示】用二倍角公式化简,α是的二倍.【解析】选D.原式=故选D.3.(2022·长沙模拟)函数f(x)=sinx-cos(x+)的值域为( )A.[-2,2]B.[-,]C.[-1,1]D.[-,]【解析】选B.f(x)=sinx-cosx+sinx=(sinx-cosx)=sin(x-).-10-\nx∈R,所以x-∈R,所以f(x)∈[-,],故选B.4.(2022·哈尔滨模拟)设函数f(x)=sin(2x+)+cos(2x+),则( )A.y=f(x)在(0,)内单调递增,其图象关于直线x=对称B.y=f(x)在(0,)内单调递增,其图象关于直线x=对称C.y=f(x)在(0,)内单调递减,其图象关于直线x=对称D.y=f(x)在(0,)内单调递减,其图象关于直线x=对称【解析】选D.因为f(x)=sin(2x+)+cos(2x+)=sin(2x++)=cos2x,所以f(x)在(0,)内单调递减,且图象关于x=对称.【加固训练】(2022·郑州模拟)已知函数f(x)=sin(-x)-cos(x+),x∈R,则f(x)( )A.周期为π,且图象关于点(,0)对称B.最大值为2,且图象关于点(,0)对称C.周期为2π,且图象关于点(-,0)对称D.最大值为2,且图象关于x=对称【解析】选B.f(x)=sin(-x)-cos(x+)-10-\n因为x∈R,所以x-∈R,所以-1≤sin(x-)≤1,则f(x)的最大值为2.因为ω=1,所以周期T==2π.当x-=kπ(k∈Z)时,f(x)图象关于某一点对称,所以当k=0时,求出x=,即f(x)图象关于(,0)中心对称,故选B.5.(2022·临沂模拟)已知函数f(x)=sinx+2cos2,设,则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a【解题提示】先化简函数f(x)的解析式,再利用其单调性比较大小.【解析】选B.f(x)=因为函数f(x)在[0,]上单调递增,所以,而c==2sin+=2sin+=f(0)<,所以c<a<b.【误区警示】解答本题易误选A,出现错误的原因是不化简函数解析式,直接由自变量的大小判断a,b,c的大小.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数y=sin42x-cos42x的最小正周期是 .【解析】y=sin42x-cos42x=(sin22x+cos22x)(sin22x-cos22x)=-cos4x,所以最小正周期T=答案:7.(2022·长春模拟)函数f(x)=2sin的最大值为 .【解析】因为f(x)=-10-\n所以f(x)max=1.答案:1【加固训练】(2022·咸阳模拟)函数y=4cos2+1,x∈[-π,π]的最小值是 .【解析】y=因为x∈[-π,π],所以,所以ymin=3.答案:38.(2022·南宁模拟)设a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°,c=.则a,b,c按从小到大的顺序排列为 .【解析】a=sin14°+cos14°=sin59°,b=sin16°+cos16°=sin61°,c==sin60°.因为59°<60°<61°,所以sin59°<sin60°<sin61°,所以a<c<b.答案:a<c<b【加固训练】1.已知函数f(x)=+2sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期.(2)若x∈,求f(x)的最值.【解题提示】(1)先化简,再求周期.(2)由化简后的解析式及x的范围求解.-10-\n【解析】(1)f(x)=+2·=+-cos2x=-cos2x+=sin2x-cos2x+=2sin+所以T==π.(2)因为x∈,所以-≤2x-≤0,所以f(x)max=,f(x)min=-1.2.(2022·大连模拟)已知函数f(x)=cos2ωx-sinωx·cosωx(ω>0)的最小正周期是π.(1)求函数f(x)的单调递增区间和对称中心.(2)若A为锐角三角形ABC的内角,求f(A)的取值范围.【解析】(1)依题意,得f(x)=-sin2ωx=cos+,因为T==π,所以ω=1.所以f(x)=cos+,由-π+2kπ≤2x+≤2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤-+kπ,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.令2x+=+kπ,k∈Z,所以x=+,k∈Z.所以对称中心为,k∈Z.-10-\n(2)依题意,得0<A<,所以<2A+<,所以-1≤cos<,所以-≤cos+<1,所以f(A)的取值范围为.(20分钟 40分)1.(5分)(2022·铜陵模拟)已知α为第二象限角,sinα+cosα=,则cos2α=( )【解析】选A.因为sinα+cosα=,所以(sinα+cosα)2=,所以2sinαcosα=-,即sin2α=-.又因为α为第二象限角且sinα+cosα=>0,所以2kπ+<α<2kπ+(k∈Z),所以4kπ+π<2α<4kπ+(k∈Z),所以2α为第三象限角,所以cos2α=【一题多解】本题还可用如下方法求解:sinα+cosα=两边平方,得-10-\n1+2sinαcosα=,所以2sinαcosα=-.因为α为第二象限角,所以sinα>0,cosα<0,所以sinα-cosα=由得所以cos2α=2cos2α-1=-.【加固训练】(2022·六安模拟)已知2sinθ=1+cosθ,则tan等于( )A.2B.C.或不存在D.不存在【解析】选C.当1+cosθ=0时,tan不存在.当1+cosθ≠0时,2.(5分)(2022·上海高考)方程sinx+cosx=1在区间上的所有解的和等于 .【解题提示】首先将左边函数化为Asin(ωx+φ)的形式,再根据三角函数的图象特点可求.【解析】令f(x)=sinx+cosx=2sin=1,所以sin=,又x∈[0,2π]所以x+=或2π+,解得x=或,所以所有解的和为.-10-\n答案:3.(5分)(2022·西安模拟)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ= .【解题提示】用辅助角公式求解,注意辅助角φ的正、余弦值.【解析】f(x)=sinx-2cosx=sin(x+φ),其中tanφ=-2,当x+φ=2kπ+时,函数f(x)取得最大值,即θ=2kπ+-φ.所以cosθ=cos(-φ)=sinφ,又因为tanφ=-2,φ在第四象限,所以sinφ=-,即cosθ=-.答案:-4.(12分)(2022·保定模拟)已知函数f(x)=sincos+cos2-1.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间.(2)求函数f(x)在上的最小值.【解析】(1)f(x)=sincos+-1=sinx+cosx-=sin(x+)-.所以函数f(x)的最小正周期为2π.由2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,得2kπ+≤x≤2kπ+.则函数f(x)的单调递减区间是[2kπ+,2kπ+],k∈Z.(2)由≤x≤,得≤x+≤.则当x+=,即x=时,f(x)取得最小值【加固训练】已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x.(1)求f(x)的最小正周期.-10-\n(2)求f(x)的单调区间.(3)若x∈[0,],求f(x)的最大值及最小值.【解析】(1)f(x)=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=cos(2x+),所以最小正周期T==π.(2)由2kπ-π≤2x+≤2kπ,k∈Z,得kπ-π≤x≤kπ-,k∈Z,所以函数f(x)的单调增区间为[kπ-π,kπ-π](k∈Z).由2kπ≤2x+≤2kπ+π,k∈Z.得kπ-π≤x≤kπ+π,k∈Z,所以函数f(x)的单调减区间为[kπ-π,kπ+π](k∈Z).(3)因为0≤x≤,所以≤2x+≤,所以-1≤cos(2x+)≤,所以-≤f(x)≤1.所以当x=0时,f(x)有最大值为1,当x=π时,f(x)有最小值为-.5.(13分)(能力挑战题)某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD,AB=50米,BC=25米,为了便于居民平时休闲散步,该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE,EF和OF,考虑到小区整体规划,要求O是AB的中点,点E在边BC上,点F在边AD上,且OE⊥OF,如图所示.(1)设∠BOE=α,试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式,并求出此函数的定义域.-10-\n(2)经核算,三条路每米铺设费用均为400元.试问如何设计才能使铺路的总费用最低?并求出最低总费用.【解题提示】(1)由题意可知∠OFA=α,利用直角三角形中边角的关系列式,结合图形求定义域.(2)利用换元法求最值,要注意α的范围.【解析】(1)在Rt△BOE中,OE=,在Rt△AOF中,OF=.在Rt△OEF中,EF=当点F在点D时,角α最小,α=,当点E在点C时,角α最大,α=,所以l=定义域为[,].(2)设t=sinα+cosα,α∈[,],所以所以当α=时,lmin=50(+1),总费用最低为20000(+1)元.-10-
