课时提升作业(三十五)基本不等式一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列不等式:①a2+1>2a;②≤2;③x2+≥1,其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.①②不正确,③正确,x2+=(x2+1)+-1≥2-1=1.2.(2022·福建高考)若2x+2y=1,则x+y的取值范围是( )A.B.C.D.【解析】选D.2≤2x+2y=1,所以2x+y≤,即2x+y≤2-2,所以x+y≤-2.3.(2022·马鞍山模拟)设x>0,y>0,且2x+y=6,则9x+3y有( )A.最大值27B.最小值27C.最大值54D.最小值54【解析】选D.因为x>0,y>0,且2x+y=6,所以9x+3y≥2=2=2=54,当且仅当x=,y=3时,9x+3y有最小值54.4.圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,b∈R)对称,则ab的取值范围是( )A.B.C.D.【思路点拨】圆关于直线对称,则圆心在直线上,利用此条件可解.【解析】选A.由已知得圆心坐标为(-1,2),故-2a-2b+2=0,即a+b=1,故ab≤=.5.(2022·黄冈模拟)若实数x,y,z满足x2+y2+z2=2,则xy+yz+zx的取值范围是( )A.[-1,2]B.[1,2]-8-\nC.[-1,1]D.[-2,2]【解析】选A.因为(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2≥0,所以x2+y2+z2≥xy+xz+yz,所以xy+yz+zx≤2;又(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)≥0,所以xy+xz+yz≥-(x2+y2+z2)=-1.综上可得:-1≤xy+xz+yz≤2.故选A.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2022·青岛模拟)下列命题中正确的是 (填序号).①y=2-3x-(x>0)的最大值是2-4;②y=sin2x+的最小值是4;③y=2-3x-(x<0)的最小值是2-4.【解析】①正确,因为y=2-3x-=2-≤2-2=2-4.当且仅当3x=,即x=时等号成立.②不正确,令sin2x=t,则0<t≤1,所以g(t)=t+,显然g(t)在(0,1]上单调递减,故g(t)min=g(1)=1+4=5.③不正确,因为x<0,所以-x>0,最小值为2+4,而不是2-4.答案:①【误区警示】此题容易出现答案为①②,是因为做题时只看到了形式,而看不到基本不等式成立的条件而造成的.7.(2022·四川高考)已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a= .【解析】由题f(x)=4x+(x>0,a>0),根据基本不等式4x+≥4,当且仅当4x=时取等号,而由题知当x=3时取得最小值,即a=36.-8-\n答案:368.已知x,y为正实数,3x+2y=10,+的最大值为 .【解析】由≤得+≤==2,当且仅当x=,y=时取等号.答案:2【一题多解】此题还可以这样解:设W=+>0,W2=3x+2y+2·=10+2·≤10+()2+()2=10+(3x+2y)=20,所以W≤=2,当且仅当x=,y=时等号成立.答案:2三、解答题9.(10分)(2022·淄博模拟)如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体的沉淀箱.污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为a米,高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a,b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A,B孔的面积忽略不计)?【解析】方法一:设y为流出的水中杂质的质量分数,则y=,其中k为比例系数,且k>0,-8-\n依题意,即所求的a,b值使y最小.据题意有:4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),所以b=(0<a<30).所以ab=a×==-a+32-=34-(a+2+)≤34-2=18.当a+2=时取等号,y达到最小值.此时解得a=6,b=3.答:当a为6米,b为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.方法二:设y为流出的水中杂质的质量分数,则y=,其中k为比例系数,且k>0,依题意,即所求的a,b值使y最小.据题意有:4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),即2b+ab+a=30,因为a+2b≥2,所以30-ab=a+2b≥2.所以ab+2-30≤0.因为a>0,b>0,所以0<ab≤18,当a=2b时取等号,ab达到最大值18.此时解得a=6,b=3.答:当a为6米,b为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.【加固训练】(1)若a>0,b>0,且ln(a+b)=0,求+的最小值.(2)求x(8-3x)(0<x<)的最大值.【解析】(1)依题意a+b=1,且a>0,b>0,所以+=+=2++≥2+2=4,-8-\n当且仅当a=b=时,等号成立,故+的最小值为4.(2)因为0<x<,所以x(8-3x)=3x(8-3x)·≤·=.当且仅当3x=8-3x,即x=时,等号成立,故x(8-3x)的最大值是.(20分钟 40分)1.(5分)(2022·怀化模拟)已知a,b为正实数,函数y=2aex+b的图象经过点(0,1),则+的最小值为( )A.3+2B.3-2C.4D.2【解析】选A.由已知得2a+b=1,又因为a,b为正实数,所以+=(2a+b)=3++≥3+2=3+2.当且仅当a=1-,b=-1时取等号.【加固训练】(2022·山东高考)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为( )A.0B.1C.D.3【解析】选B.由x2-3xy+4y2-z=0,得z=x2-3xy+4y2.所以==≤=1,当且仅当=,即x=2y时取等号,此时z=2y2,=1.-8-\n+-=+-==≤4=1.2.(5分)(2022·吉林模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得=4a1,则+的最小值为( )A.B.C.D.【解析】选A.由各项均为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5,可得a1q6=a1q5+2a1q4,所以q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去).因为=4a1,所以qm+n-2=16,所以2m+n-2=24,所以m+n=6,所以+=(m+n)=≥(5+4)=.当且仅当=时,等号成立,故+的最小值等于.3.(5分)(2022·太原模拟)正数a,b满足+=1,若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是( )A.[3,+∞)B.(-∞,3]C.(-∞,6]D.[6,+∞)【解析】选D.因为a>0,b>0,+=1,所以a+b=(a+b)=10++≥10+2=16,由题意,得16≥-x2+4x+18-m,-8-\n即x2-4x-2≥-m对任意实数x恒成立,而x2-4x-2=(x-2)2-6,所以x2-4x-2的最小值为-6,所以-6≥-m,即m≥6.【加固训练】(2022·闵行模拟)若不等式(x+y)+≥16对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为 .【解析】因为不等式(x+y)≥16对任意正实数x,y恒成立,所以16≤.令f(x)=(x+y)(a>0),则f(x)=a+4++≥a+4+2=a+4+4,当且仅当=时取等号,所以a+4+4≥16,解得a≥4,因此正实数a的最小值为4.答案:44.(12分)(2022·郑州模拟)若a>0,b>0,且+=.(1)求a3+b3的最小值.(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.【解析】(1)因为a>0,b>0,且+=,所以=+≥2,所以ab≥2,当且仅当a=b=时取等号.因为a3+b3≥2≥2=4,当且仅当a=b=时取等号,所以a3+b3的最小值为4.-8-\n(2)由(1)可知,2a+3b≥2=2≥4>6,故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.5.(13分)(能力挑战题)为了降低能耗,新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式.(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.【解析】(1)当x=0时,C(0)=8,即=8,所以k=40,所以C(x)=,所以f(x)=6x+=6x+(0≤x≤10).(2)f(x)=6x+=2(3x+5)+-10≥2-10=70.当且仅当2(3x+5)=,即x=5时等号成立,因此最小值为70,所以当隔热层修建5cm厚时总费用最小,最小值为70万元.-8-
