课时提升作业(三十三)一元二次不等式及其解法一、选择题(每小题5分,共35分)1.不等式(x-1)(2-x)≥0的解集为( )A.{x|1≤x≤2}B.{x|x≤1或x≥2}C.{x|1<x<2}D.{x|x<1或x>2}【解析】选A.因为(x-1)(2-x)≥0,所以(x-2)(x-1)≤0,所以结合二次函数的性质可得1≤x≤2.故选A.2.(2022·成都模拟)使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分不必要条件是( )A.x≥0B.x<0或x>2C.x∈{-1,3,5}D.x≤-或x≥3【解析】选C.不等式2x2-5x-3≥0的解集是.由题意,选项中x的范围应该是上述解集的真子集,只有C满足.3.(2022·潍坊模拟)函数f(x)=的定义域是( )A.(-∞,1)∪(3,+∞)B.(1,3)C.(-∞,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,3)【解析】选D.由题意知即故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3).【加固训练】不等式≤0的解集为( )A.B.-8-\nC.∪[1,+∞)D.∪[1,+∞)【解析】选A.≤0等价于不等式组①或②解①得-<x≤1,解②得x∈∅,所以原不等式的解集为.4.(2022·长春模拟)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为,则f(10x)>0的解集为( )A.{x|x<-1或x>lg2}B.{x|-1<x<lg2}C.{x|x>-lg2}D.{x|x<-lg2}【解析】选C.由题意,得10x<-1,或10x>,10x<-1无解;由10x>,得x>lg,即x>-lg2.5.(2022·杭州模拟)若x=1满足不等式ax2+2x+1<0,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-3)B.(-3,+∞)C.(1,+∞)D.(-∞,1)【解析】选A.因为x=1满足不等式ax2+2x+1<0,所以a+2+1<0,所以a<-3.故选A.6.关于x的不等式x2-ax+a>0(a∈R)在R上恒成立的充分不必要条件是( )A.a<0或a>4B.0<a<2C.0<a<4D.0<a<8【解析】选B.本题考查一元二次不等式的解法及充分必要条件的判断.由x2-ax+a>0(a∈R)在R上恒成立可知,Δ=a2-4a<0,所以0<a<4.当0<a<2时,Δ=a2-4a<0,x2-ax+a>0(a∈R)在R上恒成立;反之不成立.故其充分不必要条件为0<a<2.7.已知函数f(x)=ax2-x-c,且不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=f(-x)的图象为( )-8-\n【解析】选B.因为函数f(x)=ax2-x-c,且不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},所以a<0,方程ax2-x-c=0的两个根为-2和1,-2+1=,-2×1=-,所以a=-1,c=-2,所以f(x)=ax2-x-c=-x2-x+2,所以f(-x)=-x2+x+2,其图象开口向下,与x轴交点为(-1,0),(2,0),故选B.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知函数f(x)=若f(f(1))>3a2,则a的取值范围是 .【解析】f(1)=21+1=3,所以f(f(1))=f(3)=9+6a.由f(f(1))>3a2得9+6a>3a2,即a2-2a-3<0,解得-1<a<3.答案:(-1,3)【误区警示】此题是分段函数,代入求值时容易出现因不同的取值而出现错误,应注意分段函数分段求值,不能代错.9.(2022·北京模拟)已知p:x≥k,q:<1,若p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是 .【解题提示】先解出分式不等式的解集,再利用p是q的充分不必要条件,可得结果.【解析】<1⇔>0⇔x∈(-∞,-1)∪(2,+∞),k∈(2,+∞).答案:k∈(2,+∞)10.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是 .【解析】当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立⇒m<-=-在x∈(1,2)上恒成立,设φ(x)=-,φ(x)=-∈(-5,-4),故m≤-5.-8-\n所以m的取值范围为(-∞,-5].答案:(-∞,-5]【一题多解】本题还有以下解法设f(x)=x2+mx+4,因为当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,又因为f(0)=4,f(x)开口向上,所以若f(x)<0在(1,2)恒成立,则:解得m≤-5.所以m的取值范围为(-∞,-5].答案:(-∞,-5](20分钟 40分)1.(5分)关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中,恰有3个整数,则a的取值范围是( )A.(4,5)B.(-3,-2)∪(4,5)C.(4,5]D.[-3,-2)∪(4,5]【解析】选D.原不等式可化为(x-1)(x-a)<0,当a>1时得1<x<a,此时解集中的整数为2,3,4,则4<a≤5,当a<1时得a<x<1,此时解集中的整数为-2,-1,0.则-3≤a<-2,故a∈[-3,-2)∪(4,5].【加固训练】(2022·温州模拟)若不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|1<x<2},则a+b的值为( )A.3 B.1 C.-3 D.-1【解析】选A.因为不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|1<x<2},所以1和2为方程(x-a)(x-b)=0的两个根,则有或所以a+b=1+2=3,即a+b的值为3.2.(5分)已知函数f(x)=ax2+bx+c,不等式f(x)<0的解集为{x|x<-3或x>1},则函数y=f(-x)的图象可以为( )-8-\n【解析】选B.由f(x)<0的解集为{x|x<-3或x>1}知a<0,y=f(x)的图象与x轴交点为(-3,0),(1,0),所以f(-x)图象开口向下,与x轴交点为(3,0),(-1,0).3.(5分)(2022·青岛模拟)已知a为正的常数,若不等式≥1+-对一切非负实数x恒成立,则a的最大值为 .【解析】原不等式即≥1+-(*),令=t,t≥1,则x=t2-1,所以(*)即≥1+-t==对t≥1恒成立,所以≥对t≥1恒成立,又a为正的常数,所以a≤[2(t+1)2]min=8,故a的最大值是8.答案:8【加固训练】(2022·温州模拟)若关于x的不等式4x-2x+1-a≥0在[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围为 .【解析】因为4x-2x+1-a≥0在[1,2]上恒成立,所以4x-2x+1≥a在[1,2]上恒成立.令y=4x-2x+1=(2x)2-2×2x+1-1=(2x-1)2-1.因为1≤x≤2,所以2≤2x≤4.由二次函数的性质可知:当2x=2,即x=1时,y有最小值0,所以a的取值范围为(-∞,0].答案:(-∞,0]4.(12分)已知函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0.当x∈-8-\n(-3,2)时,f(x)>0.(1)求f(x)在[0,1]内的值域.(2)若ax2+bx+c≤0的解集为R,求实数c的取值范围.【解题提示】(1)由题意得-3,2是方程ax2+(b-8)x-a-ab=0的两根,故有且a<0,解得a和b,然后再根据函数单调性解出函数在[0,1]内的值域即可.(2)在已知a和b的情况下,不等式ax2+bx+c≤0的解集为R,列式,可解出实数c的取值范围.【解析】(1)因为当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0,当x∈(-3,2)时,f(x)>0,所以-3,2是方程ax2+(b-8)x-a-ab=0的两根,所以可得所以a=-3,b=5,所以f(x)=-3x2-3x+18=-3+18.75,函数图象关于x=-0.5对称,且抛物线开口向下,所以在区间[0,1]上f(x)为减函数,所以函数的最大值为f(0)=18,最小值为f(1)=12,故f(x)在[0,1]内的值域为[12,18].(2)由(1)知,不等式ax2+bx+c≤0化为-3x2+5x+c≤0,因为二次函数y=-3x2+5x+c的图象开口向下,要使-3x2+5x+c≤0的解集为R,只需即25+12c≤0⇒c≤-,所以实数c的取值范围为.【加固训练】1.已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b的值.(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.-8-\n【解析】(1)因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,b>1且a>0.由根与系数的关系,得解得(2)不等式ax2-(ac+b)x+bc<0,即x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2<x<c};当c<2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|c<x<2};当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为∅.所以,当c>2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集为{x|2<x<c};当c<2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集为{x|c<x<2};当c=2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集为∅.2.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+b.(1)解关于a的不等式f(1)>0.(2)若不等式f(x)>0的解集为(-1,3),求实数a,b的值.【解析】(1)因为f(1)>0,所以-3+a(6-a)+b>0,即a2-6a+3-b<0.Δ=(-6)2-4(3-b)=24+4b.①当Δ≤0,即b≤-6时,原不等式的解集为∅.②当Δ>0,即b>-6时,方程a2-6a+3-b=0有两根a1=3-,a2=3+,所以不等式的解集为(3-,3+).综上所述:当b≤-6时,原不等式的解集为∅;当b>-6时,原不等式的解集为(3-,3+).(2)由f(x)>0,得-3x2+a(6-a)x+b>0,即3x2-a(6-a)x-b<0.-8-\n因为它的解集为(-1,3),所以-1与3是方程3x2-a(6-a)x-b=0的两根.所以解得或5.(13分)某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售出100件.若售价降低x成(1成=10%),售出商品数量就增加x成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式y=f(x),并写出定义域.(2)若要求该商品一天营业额至少为10260元,求x的取值范围.【解析】(1)由题意得y=100·100.因为售价不能低于成本价,所以100-80≥0.所以y=f(x)=20(10-x)(50+8x),定义域为[0,2].(2)由题意得20(10-x)(50+8x)≥10260,化简得8x2-30x+13≤0.解得≤x≤.所以x的取值范围是.-8-
