北京航空航天大学附中三维设计2022年高考数学二轮复习：数系的扩充与复数的引入本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知i为虚数单位，a为实数，复数在复平面内对应的点为M，则“”是“点M在第四象限”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条【答案】A2．复数（是虚数单位）的虚部是()A．B．C．D．【答案】C3．满足条件|z-i|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是()A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆【答案】C4．定义运算(，)※(c,d)＝－bd，则符合条件(z，1＋2)※(1＋，1－)＝0的复数z的所对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D5．复数等于()A．B．C．D．【答案】D6．设a、b、c、d∈R，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是()A．ad－bc=0B．ac－bd=0C．ac+bd=0D．ad+bc=0【答案】D7．复数的实部与虚部之和为()A．B．0C．1D．2【答案】B8．复数满足,其中为虚数单位,则()A．B．1C．D．【答案】D9．若复数（i是虚数单位）的实部和虚部相等，则实数a等于()5\nA．-1B．C．D．3【答案】D10．复数等于()A．3-4iB．5-4iC．3-2iD．5-2i【答案】A11．是虚数单位，复数等于()A．B．C．D．【答案】D12．为虚数单位，复平面内表示复数的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数（其中i是虚数单位），且θ∈［0,2π)，则θ的值为。【答案】14．复数的值＝____________.【答案】15．已知是虚数单位，复数，则等于____________．【答案】16．设复平面上关于实轴对称的两点Z1，Z2所对应的复数为z1，z2，若z1－(3z2－1)i＝[z2＋(2＋z1)i]i，则z1z2＝．【答案】三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．已知，其中，且为纯虚数．(1）求的对应点的轨迹；(2）求的最大值和最小值．【答案】（1）设，5\n则，为纯虚数，即的对应点的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，并除去两点；(2）由的轨迹可知，，，圆心对应，半径为3，的最大值为：，的最小值为：．18．实数m为何值时，复数z=(m2+5m+6)+（m2-2m-15）i对应的点在：(1）x轴上方；(2）直线x+y+5=0上.【答案】(1)若复数Z对应的点在x轴上方，则m2-2m-15>0,解得m<－3或m>5(2)复数z对应的点为（m2+5m+6，m2-2m-15），∵z对应的点在直线x+y+5=0上，∴（m2+5m+6）+（m2-2m-15）+5=0，整理得2m2+3m-4=0，解得m=（-3±）×19．已知，且以下命题都为真命题：命题实系数一元二次方程的两根都是虚数；命题存在复数同时满足且.求实数的取值范围.【答案】由命题为真，可得;由命题为真，可知复平面上的圆和圆有交点，于是由图形不难得到，故两个命题同时为真的实数的取值范围是.20．设A、B、C分别是复数Z0=ai，Z1=+bi，Z2=1+ci(其中a，b，c都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t(t∈R)与△ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点．【答案】曲线方程为：Z=aicos4t+(1+2bi)cos2tsin2t+(1+ci)sin4t=(cos2tsin2t+sin4t)+i(acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t)∴x=cos2tsin2t+sin4t=sin2t(cos2t+sin2t)=sin2t．(0≤x≤1)y=acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t=a(1－x)2+2b(1－x)x+cx25\n即y=(a－2b+c)x2+2(b－a)x+a(0≤x≤1)．①若a－2b+c=0，则Z0、Z1、Z2三点共线，与已知矛盾，故a－2b+c¹0．于是此曲线为轴与x轴垂直的抛物线．AB中点M：+(a+b)i，BC中点N：+(b+c)i．与AC平行的中位线经过M(，(a+b))及N(，(b+c))两点，其方程为4(a－c)x+4y－3a－2b+c=0．(≤x≤)．②令4(a－2b+c)x2+8(b－a)x+4a=4(c－a)x+3a+2b－c．即4(a－2b+c)x2+4(2b－a－c)x+a－2b+c=0．由a－2b+c¹0，得4x2+4x+1=0，此方程在[，]内有惟一解：x=．以x=代入②得，y=(a+2b+c)．∴所求公共点坐标为(，(a+2b+c))．21．已知x是实数，y是纯虚数，且满足，求x与y的值．【答案】设代入条件并整理得， 由复数相等的条件得，解得． ∴，．22．已知复数，且为纯虚数．(1）求复数；(2）若，求复数的模．【答案】（1）是纯虚数，且，(2）5\n5
