北京航空航天大学附中三维设计2022年高考数学二轮复习：导数及其应用本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若函数在区间内可导，且则的值为()A．B．C．D．【答案】B2．设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为()A．B．C．D．【答案】D3．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－t2＋2t，那么速度为零的时刻是()A．0秒B．1秒末C．2秒末D．1秒末和2秒末【答案】D4．已知函数的定义域为，部分对应值如下表．的导函数的图象如图所示．下列关于函数的命题：①函数是周期函数；②函数在是减函数；10\n③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；④当时，函数有4个零点．其中真命题的个数是()A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】D5．()A．B．C．D．【答案】B6．函数y=x3－3x的极大值为m,极小值为n,则m+n为()A．0B．1C．2D．4【答案】A7．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()A．B．C．D．【答案】B8．已知函数的导数为0的值也使值为0，则常数的值为()A．0B．C．0或D．非以上答案【答案】A9．已知点P是曲线上的一个动点，则点P到直线l：的距离的最小值为()A．1B．C．D．【答案】B10．曲线在点处的切线的斜率为()A．B．C．D．【答案】B11．已知物体的运动方程为（是时间，是位移），则物体在时刻时的速度为()A．B．C．D．【答案】D10\n12．的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是()【答案】D第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知函数的导函数为偶函数，则.【答案】014．.【答案】15．已知函数，当时函数f(x)的导数为零，f(-1)=，则．【答案】16．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为【答案】三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．某企业有一条价值为m万元的生产流水线，要提高其生产能力，提高产品的价值，就要对该流水线进行技术改造，假设产值y万元与投入的改造费用x万元之间的关系满足：①y与成正比；②当时，，③，其中a为常数，且.(1）设，求出的表达式;(2）求产值y的最大值，并求出此时x的值.【答案】（1）y与（m－x）x成正比，∴y＝f(x)=k(m－x)x210\n又时，∴∴k＝4∴y＝f(x)＝4(m－x)x2由得∴(2）∵∴令得(i）若即当时，∴在[0，m]上单调递增当时，由在[]上单调递减∴当，(ii）若即时当(0,)时，∴在[0，]上单调递增∴综合（i）（ii）可知当时，产值y的最大值为，此时投入的技术改造费用为；当时，产值y的最大值为，此时投入的技术改造费用为；10\n18．已知函数，，（为实数）.(1）当时，求函数在上的最小值；(2）若方程（其中）在区间上有解，求实数的取值范围；(3）证明：（参考数据：.【答案】（1）当时，令得在上单调递减，在上单调递增时的最小值为(2）在上有解在上有解在上有解令令上单调递增，上单调递减，又即故(3）设由（1），可得10\n构造函数当时，在上单调递减，即当时，即故19．已知函数，且其导函数的图像过原点.(1)当时，求函数的图像在处的切线方程;(2)若存在，使得，求的最大值；(3)当时，求函数的零点个数。【答案】,由得,.10\n(1)当时,,，,所以函数的图像在处的切线方程为,即(2)存在,使得,，，当且仅当时，所以的最大值为.(3)当时，的变化情况如下表：的极大值，的极小值又，.所以函数在区间内各有一个零点，故函数共有三个零点。注：①证明的极小值也可这样进行:设，则当时,,当时,,函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,故函数在区间上的最大值为,从而的极小值.10\n②证明函数共有三个零点。也可这样进行:的极大值，的极小值,当无限减小时，无限趋于当无限增大时，无限趋于故函数在区间内各有一个零点，故函数共有三个零点。20．已知函数．(1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；(2）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ），当时，在上恒成立，函数在单调递减，∴在上没有极值点；当时，得，得，∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．∴当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．(Ⅱ）∵函数在处取得极值，∴，∴，令，可得在上递减，在上递增，∴，即．21．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=(0<x≤120).已知甲、乙两地相距100千米。(Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【答案】(1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时,10\n要耗油(.答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升.(2)当速度为x千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了设耗油量为h(x)升，衣题意得h(x)=()·,h’(x)=(0＜x≤120＝令h’(x)=0，得x=80.当x∈(0,80)时，h’(x)＜0,h(x)是减函数;当x∈(80,120)时，h’(x)＞0,h(x)是增函数.∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25.因为h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值.答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.22．已知函数(为实数)有极值，且在处的切线与直线平行．(1)求实数的取值范围；(2)是否存在实数a,使得函数f(x)的极小值为1,若存在,求出实数a的值,若不存在,请说明理由；(3)设,的导数为,令求证:【答案】(1)∵,∴，．①有极值，∴方程有两个不等实．②,由①、②可得，,故实数的取值范围是(2)存在.由(1)可知，令f/(x)=0函数的增减性随自变量的变化情况如下表：10\n∴时f(x)取极小值，则,∴若，即则(舍)．若∴存在实数,使得函数的极小值为1(3)∵,∴其中等号成立的条件为10
