推理与证明(建议用时：40分钟)一、选择题1．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝是指数函数(小前提)，所以函数y＝是增函数(结论)”，以上推理的错误的原因是( )A．大前提错误导致结论错B．小前提错误导致结论错C．推理形式错误导致结论错D．大前提和小前提错误导致结论错A [推理形式没有错误，而大前提“y＝ax是增函数”是不正确的，当0＜a＜1时，y＝ax是减函数；当a＞1时，y＝ax是增函数．故选A.]2．用反证法证明命题“＋是无理数”时，假设正确的是( )A．假设是有理数B．假设是有理数C．假设或是有理数D．假设＋是有理数D [应对结论进行否定，则＋不是无理数，即＋是有理数．]3．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为( )A．＋＋＝1 B．＋＋＝1C．＋＋＝1D．ax＋by＋cz＝1A [类比到空间应选A.另外也可将点(a,0,0)代入验证．]4．下面四个推理不是合情推理的是( )A．由圆的性质类比推出球的有关性质B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的5
C [逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理．]5．已知f(x)＝x3＋x，a，b，c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值一定( )A．大于零B．等于零C．小于零D．正负都可能A [f(x)＝x3＋x是奇函数且在R上是增函数，由a＋b>0，得a>－b，故f(a)>f(－b)．可得f(a)＋f(b)>0.同理f(a)＋f(c)>0，f(b)＋f(c)>0.所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0.故选A]．二、填空题6．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________．1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2 [当n＝k＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2中的k更换为k＋1.]7．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S表示截面面积，那么类比得到的结论是________．S2＝S＋S＋S [类比如下：正方形⇔正方体；截下直角三角形⇔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方⇔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和⇔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S2＝S＋S＋S.(这个结论是正确的，证明略)]8．观察下列等式：×＝1－，×＋×＝1－，×＋×＋×＝1－，……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，×＋×＋…＋×＝________.1－ [由已知中的等式：×＝1－，5
×＋×＝1－，×＋×＋×＝1－，…，所以对于n∈N*，×＋×＋…＋×＝1－.]三、解答题9.已知x∈R，a＝x2－1，b＝2x＋2.求证a，b中至少有一个是非负数．[解] 假设a，b中没有一个是非负数，即a＜0，b＜0，所以a＋b＜0.又a＋b＝x2－1＋2x＋2＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，所以，a，b中至少有一个是非负数．10．已知a＋b＋c＝abc，求证：＋＋＝.[证明] 欲证原式，即证：a(1－b2)(1－c2)＋b(1－a2)·(1－c2)＋c(1－a2)(1－b2)＝4abc左边全部展开，得左边＝abc(ab＋bc＋ca)－ab2－ac2－ba2－bc2－ca2－cb2＋a＋b＋c，利用abc＝a＋b＋c，得：上式＝4abc＝右边．故原等式成立．1．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值为( )A．a＝，b＝c＝B．a＝b＝c＝C．a＝0，b＝c＝D．不存在这样的a，b，cA [令n＝1，得1＝3(a－b)＋c，令n＝2，得1＋2×3＝9(2a－b)＋c，令n＝3，得1＋2×3＋3×32＝27(3a－b)＋c，即∴a＝，b＝c＝.故选A.]5
2．对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：22＝1＋332＝1＋3＋542＝1＋3＋5＋723＝3＋533＝7＋9＋1143＝13＋15＋17＋19根据上述分解规律，若m2＝1＋3＋5＋…＋11，n3的分解中最小的正整数是21，则m＋n＝( )A．10B．11C．12D．13B [∵m2＝1＋3＋5＋…＋11＝×6＝36，∴m＝6.∵23＝3＋5,33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，∴53＝21＋23＋25＋27＋29，∵n3的分解中最小的数是21，∴n3＝53，n＝5，∴m＋n＝6＋5＝11.]3．观察①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝；②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝.由两式的结构特点可提出一个猜想的等式为________．sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝ [观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝.]4．给出下列不等式：①a＞b＞0，且a2＋＝1，则ab＞a2b2；②a，b∈R，且ab＜0，则≤－2；③a＞b＞0，m＞0，则＞；④≥4(x≠0)．其中正确不等式的序号为________．①②④ [①a>b>0，∴a≠.∴a2＋＝1＞2＝ab.5
∴1－ab>0.∴ab－a2b2＝ab(1－ab)>0.∴ab>a2b2.①正确．②＋2＝.∵ab<0，(a＋b)2≥0，∴≤－2.②正确．③－＝.∵a>b>0，m>0，∴b(b＋m)>0，b－a<0.∴<0.∴＜.③不正确．④＝|x|＋≥4.④正确．]5．在圆x2＋y2＝r2(r>0)中，AB为直径，C为圆上异于A，B的任意一点，则有kAC·kBC＝－1.你能用类比的方法得出椭圆＋＝1(a>b>0)中有什么样的结论？并加以证明．[解] 类比得到的结论是：在椭圆＋＝1(a>b>0)中，A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，点C(x，y)是椭圆上不同于A，B的任意一点，则kAC·kBC＝－.证明如下：设A(x0，y0)为椭圆上的任意一点，则A关于中心的对称点B的坐标为B(－x0，－y0)，点P(x，y)为椭圆上异于A，B两点的任意一点，则kAP·kBP＝·＝.由于A，B，P三点在椭圆上，∴两式相减，得＋＝0，∴＝－，即kAP·kBP＝－.故在椭圆＋＝1(a>b>0)中，长轴两个端点为A，B，C为异于A，B的椭圆上的任意一点，则有kAC·kBC＝－.5
