【高考调研】2022高中数学第二章推理与证明单元测试题新人教A版选修2-2一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知扇形的孤长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可知扇形面积公式( )A. B.C.D．不可类比答案 C解析 可以将扇形看作曲边三角形，所以选C.2．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如下图)．试求第n个正方形数是( )A．n(n－1)B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2答案 C3．(2022·海口高二检测)已知f(x＋1)＝，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为( )A．f(x)＝B．f(x)＝C．f(x)＝D．f(x)＝答案 B4．三角形的面积为S＝(a＋b＋c)·r，(a，b，c为三角形的边长，r7\n为三角形的内切圆的半径)利用类比推理，可以得出四面体的体积为( )A．V＝abc(a，b，c，为底面边长)B．V＝Sh(S为底面面积，h为四面体的高)C．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r(S1，S2，S3，S4分别为四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径)D．V＝(ab＋bc＋ac)h(a，b，c为底面边长，h为四面体的高)答案 C5．(2022·鞍山高二检测)单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数．则f(4)＝________；f(n)＝________( )A．37 3n2－3n＋1B．38 3n2－3n＋2C．36 3n2－3nD．35 3n2－3n－1答案 A6．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)时，从n＝k到n＝k＋1时左边需增乘的代数式是( )A．2k＋1B．2(2k＋1)C.D.答案 B7．设M＝(－1)(－1)(－1)，且a＋b＋c＝1(a，b，c均为正数)，由综合法得M的取值范围是( )A.B.C．[1,8]D．[8，＋∞)7\n答案 D8．若x，y是正数，则(x＋)2＋(y＋)2的最小值是( )A．3B.C．4D.答案 C9．设a，b，c∈(－∞，0)，则a＋，b＋，a＋( )A．都不大于－2B．都不小于－2C．至少有一个不大于－2D．至少有一个不小于－2答案 D解析 a＋＋b＋＋c＋≤－6，三者不能都小于－2.故选D.10．数列{an}中，若a1＝，an＝，(n≥2，n∈N)，则a11的值为( )A．－1B.C．1D．2答案 D解析 a1＝，a2＝2，a3＝－1，a4＝，…三项为一个循环．11．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x、y轴上的截距分别为a、b的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x、y、z轴上的截距分别为a、b、c(abc≠0)的平面方程为( )A.＋＋＝1B.＋＋＝1C.＋＋＝1D．ax＋by＋cz＝1答案 A12．若a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则( )A．a1a8>a4a5B．a1a8<a4a5C．a1＋a8>a4＋a5D．a1a8＝a4a5答案 B解析 由a1＋a8＝a4＋a5知道C不对，举例an＝n，a1＝1，a8＝8，a4＝4，a5＝5，可知A、D不对．故选B.7\n二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…由此猜测第n个不等式为________(n∈N*)答案 1＋＋＋…＋>(n∈N*)解析 32＝22－1,72＝23－1,152＝24－1，猜测1＋＋＋…＋>.14．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c≠0，a·c＝b·c⇒a＝b”；④“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑤“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a(b·c)”；⑥“＝”类比得到＝.以上的式子中，类比得到的结论正确的是________．答案 ①②15．f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，经计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)<，推测当n≥2时，有________．答案 f(2n)>解析 观察f(2)，f(4)，f(8)，…可得．16．若数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，记f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)＝________.答案 f(n)＝解析 f(n)＝…＝…7\n＝×××××…××＝.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知x>0，y>0用分析法证明：(x2＋y2)>(x3＋y3).证明 ∵x>0，y>0，∴要证(x2＋y2)>(x3＋y3).只要证(x2＋y2)3>(x3＋y3)2，即证3x2＋3y2>2xy.(*)∵3x2＋3y2－2xy＝2(x2＋y2)＋(x－y)2>0，∴(*)成立．故原不等式成立．18．(12分)观察(1)tan10°tan20°＋tan20°·tan60°＋tan60°·tan10°＝1；(2)tan5°tan10°＋tan10°tan75°＋tan75°·tan5°＝1.由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论．解析 若α，β，γ都不是90°，且α＋β＋γ＝90°，则tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanαtanγ＝1.19．(12分)已知f(x)＝－x3－x＋1，(x∈R)求证：满足f(x)＝0的实数值至多只有1个．证明 ∵f′(x)＝－3x2－1<0在x∈R上恒成立．∴f(x)是R上的减函数．假设f(x)＝0的实数根x至少有二个，不妨设x1≠x2且f(x1)＝f(x2)＝0.∵y＝f(x)在R单调递减，∴当x1<x2时，f(x1)>f(x2)；当x1>x2时，f(x1)<f(x2)．这与f(x1)＝f(x2)＝0矛盾．故假设不成立，所以f(x)＝0至多只有一个实数根．20．(12分)△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，求证：＋＝.解析 证明：要证原式，只要证＋＝3，即＋＝1即只要证＝1，而A＋C＝2B，B＝60°，b2＝a2＋c2－ac，7\n∴＝＝＝1.21．(12分)数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：，，，，，，，，，，…，，…，…(1)若数列{bn}满足b1＝a1，b2＝a2＋a3，b3＝a4＋a5＋a6，…，写出数列{bn}的前三项；(2)猜想数列{bn}的通项并证明，并且求出{bn}的前n项和Tn.解析 (1)b1＝，b2＝1，b3＝.(2)猜想bn＝，依题意bn＝＝＝.∵bn＋1－bn＝－＝，∴{bn}为公差的等差数列．故Tn＝＝.22．(12分)已知函数f(x)＝ax－－2lnx，f(1)＝0.(1)若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围？(2)若函数f(x)的图像在x＝1处的切线的斜率为0，且an＋1＝f′－nan＋1，若a1≥3，求证：an≥n＋2.解析 (1)x>0，∵f(1)＝a－b，∴a＝b，f′(x)＝a＋－＝a2＋a－≠0.①当a>0时，则有f′(x)＝a2＋a－≥0恒成立，即a－≥0，即a≥1.②当a<0时，由x>0，知f′(x)<0恒成立．③当a＝0时，f′(x)＝－，x>0，f′(x)<0恒成立．∴若f(x)在定义域内为单调函数，则a的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞)．7\n(2)∵函数f(x)的图像在x＝1处的切线斜率为0，∴f′(1)＝0，即a＋a－2＝0，解得a＝1.∴f′(x)＝2，∴an＋1＝a－nan＋1.用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1≥3＝1＋2，不等式成立；②假设当n＝k时，不等式成立，即ak≥k＋2，则ak－k≥2>0，∴ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥2(k＋2)＋1＝(k＋3)＋k＋2>k＋3，也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1≥(k＋1)＋2.根据①②对于所有n≥1有an≥n＋2.7
