第六章测评(时间:120分钟 满分:150分)一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于( ) A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)答案D解析为使物体平衡,即合外力为零,即4个向量相加等于零向量,∴F4=(0-(-2)-(-3)-4,0-(-1)-2-(-3))=(1,2).2.已知=(2,3),=(3,t),||=1,则=( )A.(-1,0)B.(0,-1)C.(1,0)D.(0,1)答案C解析因为=(1,t-3),又因为||=1,即12+(t-3)2=12,解得t=3,所以=(1,0),故选C.3.已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=( )A.B.2C.5D.50答案A解析由题意,得a-b=(-1,1),则|a-b|=,故选A.4.已知向量a=(-1,2),b=(3,m),m∈R,则“m=-6”是“a∥(a+b)”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案A8
解析充分性:若m=-6,a+b=(-1,2)+(3,-6)=(2,-4),则a=-(a+b),可推出a∥(a+b),故充分性成立;必要性:若a∥(a+b),则a+b=ka,解得m=-6,故必要性成立;综上所述,“m=-6”是“a∥(a+b)”的充要条件,故选A.5.下列关于船从两河岸平行的一岸驶向另一岸所用的时间的描述正确的是( )A.船垂直到达对岸所用时间最少B.当船速v的方向与河垂直时用时最少C.沿任意直线运动到达对岸的时间都一样D.以上说法都不正确答案B解析当v垂直河岸时,用时最少.6.已知向量a,b不共线,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则x-y的值为( )A.3B.-3C.0D.2答案A解析由原式可得解得∴x-y=3.7.已知AD,BE分别为△ABC的边BC,AC上的中线,设=a,=b,则等于( )A.a+bB.a+bC.a-bD.-a+b答案B解析由题意,得),所以2,①同理得2=-+()=-2,即2=-2.②①×2+②得4+2=3,即4b+2a=3,所以a+b.8.8
如图所示,设P为△ABC所在平面内的一点,并且,则△BPC与△ABC的面积之比等于( )A.2∶5B.3∶5C.3∶4D.1∶4答案D解析延长AP交BC于点D,因为A,P,D三点共线,所以=m+n(m+n=1),设=k,代入可得=m+nk,即=-m+nk()⇒=(1-m-nk)+nk,又因为,即nk=,1-m-nk=,且m+n=1,解得m=,n=,所以可得=4.因为△BPC与△ABC有相同的底边,所以面积之比就等于||与||之比,所以△BPC与△ABC的面积之比为1∶4,故选D.二、多选题(本题共4个小题,每小题5分,共20分)9.下列说法不正确的是( )A.单位向量都相等B.若a与b是共线向量,b与c是共线向量,则a与c是共线向量C.|a+b|=|a-b|,则a⊥bD.若a与b是单位向量,则|a|=|b|答案AB解析单位向量仅仅长度相等,方向可能不同;当b=0时,a与c可以为任意不共线的向量;设=a,=b,=a+b,由|a+b|=|a-b|,即▱ABCD的对角线相等,此时为矩形,邻边垂直,则AB不正确,CD正确.10.若四边形ABCD是矩形,则下列命题中正确的是( )A.共线B.相等C.模相等,方向相反8
D.模相等答案ACD解析∵四边形ABCD是矩形,∴,故A,D正确;AC=BD但的方向不同,故B不正确;AD=CB且AD∥CB,的方向相反,故C正确.11.已知两点A(2,-1),B(3,1),与平行,且方向相反的向量a可能是( )A.a=(-1,-2)B.a=(9,3)C.a=(-1,2)D.a=(-4,-8)答案AD解析∵=(1,2),∴a=(-1,-2)=-(1,2)=-,∴A正确;a=(-4,-8)=-4(1,2)=-4,∴D正确.12.如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是( )A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B.对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个C.若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)D.若实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0答案BC解析由平面向量基本定理可知,A,D是正确的;对于B,由平面向量基本定理可知,若一个平面的基底确定,那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的;对于C,当两个向量均为零向量时,即λ1=λ2=μ1=μ2=0时,这样的λ有无数个,或当λ1e1+μ1e2为非零向量,而λ2e1+μ2e2为零向量(λ2=μ2=0),此时λ不存在.三、填空题(本题共4个小题,每小题5分,共20分)13.已知向量a=(2x+3,2-x),b=(-3-x,2x)(x∈R),则|a+b|的取值范围为 . 答案[,+∞)解析因为a+b=(x,x+2),所以|a+b|=,所以|a+b|∈[,+∞).14.设e1,e2为两个不共线的向量,若a=e1+λe2与b=-(2e1-3e2)共线,则实数λ= ,此时a,b方向 .(填“相同”或“相反”) 8
答案- 相反解析因为a,b共线,所以由向量共线定理知,存在实数k,使得a=kb,即e1+λe2=-k(2e1-3e2)=-2ke1+3ke2.又因为e1,e2不共线,所以解得λ=-,k=-.因为k<0,所以a,b方向相反.15.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点能构成三角形,则实数k应满足的条件是 . 答案k≠1解析若点A,B,C能构成三角形,则向量不共线.因为=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),所以1×(k+1)-2k≠0,解得k≠1.16.如图,在正六边形ABCDEF中,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为 . 答案解析连接EC交AD于点M,连接FC交AD于点O,如下图:由题可得:O为AD的中点,M为AD的一个四等分点,且MD=AD,M为EC中点,所以)=λ+μ,所以所以λ+μ=.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知向量a=(1,2),b=(-3,1).(1)求与2a+b同向的单位向量e;(2)若向量c=,请以向量a,b为基底表示向量c.解(1)∵2a+b=(2,4)+(-3,1)=(-1,5),8
∴|2a+b|=,∴与2a+b同向的单位向量e=(2a+b)=-.(2)设c=λa+μb(λ,μ∈R),则=λ(1,2)+μ(-3,1)=(λ-3μ,2λ+μ),∴解得∴c=-2a+b.18.(12分)设e1,e2是两个不共线的向量,已知=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2.(1)求证:A,B,D三点共线;(2)若=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.(1)证明由已知得=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2.∵=2e1-8e2,∴=2.又有公共点B,∴A,B,D三点共线.(2)解由(1)可知=e1-4e2,∵=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,∴=λ(λ∈R),即3e1-ke2=λe1-4λe2,即解得k=12.19.(12分)如图,在△OCB中,A是BC的中点,D是靠近点B将OB分成2∶1的一个内分点,DC和OA交于点E,设=a,=b.(1)用a,b表示向量;(2)若=λ,求λ的值.解(1)因为A是BC的中点,所以),所以=2=2a-b.又D是靠近点B将OB分成2∶1,所以,所以=(2a-b)-b=2a-b.(2)因为C,E,D三点共线,所以存在实数μ,使得=μ.又=(2a-b)-λa=(2-λ)a-b,=2a-b,所以(2-λ)a-b=μ.8
又a,b不共线,则解得λ=.20.(12分)已知三点A(a,0),B(0,b),C(2,2),其中a>0,b>0.(1)若O是坐标原点,且四边形OACB是平行四边形,试求a,b的值.(2)若A,B,C三点共线,试求a+b的最小值.解(1)因为四边形OACB是平行四边形,所以,即(a,0)=(2,2-b),解得故a=2,b=2.(2)因为=(-a,b),=(2,2-b),由A,B,C三点共线,得,所以-a(2-b)-2b=0,即2(a+b)=ab.因为a>0,b>0,所以2(a+b)=ab≤,即(a+b)2-8(a+b)≥0,解得a+b≥8或a+b≤0.因为a>0,b>0,所以a+b≥8,即a+b的最小值是8.当且仅当a=b=4时,等号成立.21.(12分)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设=a,=b,=c.(1)求3a+b-3c的值;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n的值;(3)若线段AB的中点为M,线段BC的三等分点为N(点N靠近点B),求.解(1)∵A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且=a,=b,=c,∴a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8),∴3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(6,-42).(2)mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),∴解得(3)∵线段AB的中点为M,线段BC的三等分点为N(点N靠近点B),∴=(-2,-1),8
∴点M的坐标为,点N的坐标为(1,-2),∴.22.(12分)在△ABC中,.(1)求△ABM与△ABC的面积之比;(2)若N为AB中点,交于点P,且=x+y(x,y∈R),求x+y的值.解(1)在△ABC中,,4=3,3()=,即3,即点M是线段BC靠近B点的四等分点.故△ABM与△ABC的面积之比为1∶4.(2)因为,=x+y(x,y∈R),所以x=3y.因为N为AB的中点,所以=x+y=x-+y,=x+y=x+(y-1).因为,所以x-(y-1)=xy,即2x+y=1.又x=3y,所以x=,y=,所以x+y=.8
