本章复习提升易混易错练易错点1 对向量概念理解不清致误1.(★★☆)下列命题正确的是( )A.单位向量都相等B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是平行四边形的四个顶点C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行2.(★★☆)若非零向量a,b满足|a-b|=|b|,则下列不等式恒成立的为( )A.|2b|>|a-2b|B.|2b|<|a-2b|C.|2a|>|2a-b|D.|2a|<|2a-b|易错点2 分不清向量坐标与点的坐标致误3.(2019云南师范大学附属中学段考,★★☆)已知O为原点,A(-1,3),B(2,-4),OP=2OA+mOB,若点P在y轴上,则实数m=( )A.0B.1C.-1D.-24.(2020湖南株洲南方中学期末,★★☆)已知点A(1,0),B(3,2),向量AC=(2,1),则向量BC=( )A.(0,-1)B.(1,-1)C.(1,0)D.(-1,0)5.(★★☆)已知向量AB=(4,3),AD=(-3,-1),点A(-1,-2).(1)求线段BD的中点M的坐标;(2)若点P(2,y)满足PB=λBD(λ∈R),求y与λ的值.11
易错点3 对向量共线的概念理解不全面致误6.(2020湖北武汉第三中学高一月考,★★☆)若向量m=(0,-2),n=(3,1),则与2m+n共线的向量可以是( )A.(3,-1)B.(-1,3)C.(-3,-1)D.(-1,-3)7.(2019江西赣州高一期中,★★☆)已知A(-1,-1),B(1,3),C(x,5),若AB∥BC,则x=( )A.2B.-3C.-2D.58.(★★☆)已知e1,e2是两个非零向量,且a=3e1+4e2,b=6e1-8e2,则下列判断正确的序号是 . ①a与b共线;②若e1,e2不共线,则a与b不共线;③若e1,e2共线,则a与b共线;④若e1=43e2,则a与b共线.易错点4 对向量的线性运算法则操作不当致误9.(★★☆)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则OA+OB+OC+OD等于( )A.OMB.2OMC.3OMD.4OM10.(★★☆)已知平面内三点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面内任意一点,且OP=3OA-OB2,则( )A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的反向延长线上C.点P在线段AB的延长线上D.点P不在直线AB上11.(★★☆)如图,在正六边形ABCDEF中,已知AC=c,AD=d,则AE=11
(用c与d表示). 易错点5 向量分解不当致误12.(2019河南焦作高三上期中,★★☆)已知在菱形ABCD中,∠BAD=60°,AC与BD交于点O,点E,F分别是线段AO,DC的中点,则CO=( )A.25BE-45AFB.-25BE+45AFC.27BE-47AFD.-27BE+47AF13.(2019湖南师范大学附属中学高三考前演练,★★☆)在梯形ABCD中,CD∥AB,AB=3CD=2AD,点P在线段BC上,且CP=23CB,则AP=( )A.13AD-79ABB.13AD+79ABC.59AD-13ABD.59AD+13AB思想方法练一、数形结合思想在平面向量中的应用1.(★★☆)设P,Q是线段AB的三等分点,若OA=a,OB=b,则OP+OQ=( )A.a+bB.a-bC.2(a+b)D.13(a+b)2.(★★☆)在平行四边形ABCD中,点M是AB边的中点,点N在线段BD上,且BN=13BD.利用向量法证明:M、N、C三点共线.11
3.(★★☆)已知△ABC内一点O满足OA+2OB+3OC=0,试求S△BOC∶S△COA∶S△AOB的值.二、函数与方程思想在平面向量中的应用4.(★★☆)如图,在平行四边形OACB中,BD=13BC,OD与AB相交于点E,利用向量法证明BE=14BA.5.(★★☆)如图,已知P是△ABC内一点,且满足条件AP+2BP+3CP=0,设Q为CP的延长线与AB的交点,令CP=p,试用向量p表示CQ.11
三、转化与化归思想在平面向量中的应用6.(★★☆)在△OAB的边OA,OB上分别取点M,N,使|OM|∶|OA|=1∶3,|ON|∶|OB|=1∶4,设线段AN与BM交于点P,记OA=a,OB=b,用a,b表示向量OP.7.(★★★)如图,在△OAB中,OC=14OA,OD=12OB,AD与BC交于点M,设OA=a,OB=b.(1)用a、b表示OM;(2)若在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过M点,设OE=pOA,OF=qOB(p,q∈R),求证:17p+37q=1.答案全解全析易混易错练1.C 单位向量的模相等,方向不一定相同,所以A不正确;由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,所以B不正确;假设a与b至少有一个是零向量,而零向量与任一向量都共线,可得a与b共线,这跟a与b不共线矛盾,所以a与b都是非零向量,所以C正确;向量平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确.故选C.11
易错警示 在向量的有关概念中,最易混淆的是向量平行与线段平行,这应该引起注意.另外向量可以平移,若平移后的两个向量是同一向量,则其坐标也是相同的.2.A 若两向量共线,由于非零向量a,b满足|a-b|=|b|,则a=2b,代入可知只有A,C满足;若两向量不共线,根据向量的模的几何意义,可以构造如图所示的△AOC,使其满足OB=AB=BC.令OA=a,OB=b,则BA=a-b,∴CA=a-2b,且|a-b|=|b|.又BA+BC>AC,∴|a-b|+|b|>|a-2b|,∴|2b|>|a-2b|.故选A.3.B 由题意得OP=(2m-2,6-4m),∵点P在y轴上,∴2m-2=0,∴m=1,故选B.4.A 由题意得BA=(-2,-2),∴BC=BA+AC=(-2,-2)+(2,1)=(0,-1).易错警示 由原点出发的向量其终点坐标才是向量的坐标;任意向量的坐标等于其终点坐标减去其始点坐标.5.解析 (1)设点B的坐标为(x1,y1).∵AB=(4,3),A(-1,-2),∴(x1+1,y1+2)=(4,3),∴x1+1=4,y1+2=3,∴x1=3,y1=1,∴B(3,1).同理可得D(-4,-3).设线段BD的中点M的坐标为(x2,y2),则x2=3-42=-12,y2=1-32=-1,∴中点M的坐标为-12,-1.(2)结合(1)得PB=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),BD=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).又PB=λBD(λ∈R),∴(1,1-y)=λ(-7,-4),11
则1=-7λ,1-y=-4λ,∴λ=-17,y=37.6.B ∵m=(0,-2),n=(3,1),∴2m+n=(3,-3),结合选项知B正确.7.A 由题意得AB=(2,4),BC=(x-1,2),因为AB∥BC,所以4(x-1)=2×2,解得x=2.故选A.8.答案 ②③④解析 当e1,e2共线时,存在λ∈R使得e1=λe2,所以a=3e1+4e2=(3λ+4)e2,b=6e1-8e2=(6λ-8)e2,当λ≠43时,a=3λ+46λ-8b,a与b共线;当λ=43,b=0时,a与b也共线.当e1,e2不共线时,假设存在μ∈R使得b=μa,则6e1-8e2=3μe1+4μe2,因为3μ=6,4μ=-8无解,所以a与b不共线.9.D 依题意知,点M是线段AC的中点,也是线段BD的中点,所以OA+OC=2OM,OB+OD=2OM,所以OA+OC+OB+OD=4OM,故选D.10.B ∵OP=3OA-OB2,∴2OP=3OA-OB,∴2OP-2OA=OA-OB,即2AP=BA,∴AP=12BA,则点P在线段AB的反向延长线上.11.答案 32d-c解析 连接BE,CF,交于点O,如图所示,则CD=AD-AC=d-c.由正六边形的性质,得OE=BO=CD=d-c,又因为AO=12AD=12d,所以AE=AO+OE=12d+(d-c)=32d-c.易错警示 向量的加法运算应严格按平行四边形法则或三角形法则进行;向量的减法运算则应按三角形法则进行.向量进行加法运算时,若以三角形法则进行,应当将求和向量首尾相接;向量进行减法运算时,必须把两个向量移到共同起点.12.C BE=BA+AE=BA+14AC=BA+14(AB+AD)=34CD-14CB,①11
AF=AD+DF=-CB-12CD,②由①②可得CD=8BE-2AF7,CB=-4BE-6AF7,所以CO=12(CB+CD)=27BE-47AF,故选C.13.B 因为CP=23CB,即AP-AC=23(AB-AC),所以AP=13AC+23AB=13(AD+DC)+23AB=13AD+13AB+23AB=13AD+79AB,故选B.易错警示 在向量的分解运算中,严格按三角形法则,平行四边形法则,多边形法则进行,同时要用到数乘.在运算过程中,易错点是法则应用不正确或因向量方向导致数乘向量的系数错误.思想方法练1.A 结合图形,利用向量知识,应用三角形法则解题.如图,OP=OA+AP,OQ=OB+BQ,∵AP=-BQ,∴OP+OQ=OA+OB=a+b.2.证明 结合图形,根据点的位置关系得到相关向量的关系.作出平行四边形ABCD,如图所示.由已知得BD=BA+BC,又点N在线段BD上,且BN=13BD,∴BN=13BD=13(BA+BC)=13BA+13BC.又点M是AB边的中点,∴BM=12BA,即BA=2BM,∴BN=23BM+13BC,∴23BN-23BM=13BC-13BN,即23MN=13NC.∴MN=12NC,∴M、N、C三点共线.11
3.解析 如图,延长OB至B1,使BB1=OB,延长OC至C1,使CC1=2OC,连接AB1,AC1,B1C1,B1C.则OB1=2OB,OC1=3OC,∵OA+2OB+3OC=0,∴OA+OB1+OC1=0,∴点O是△AB1C1的重心.根据向量关系构造三角形AB1C1.从而S△B1OC1=S△C1OA=S△AOB1=13S△AB1C1,∴S△COA=19S△AB1C1,S△AOB=16S△AB1C1,S△BOC=12S△B1OC=12×13S△B1OC1=118S△AB1C1,∴S△BOC∶S△COA∶S△AOB=118∶19∶16=1∶2∶3.4.证明 由题意可得BA=BO+BC,因为B、E、A三点共线,所以可设BE=kBA(k∈R),则BE=kBO+kBC,①又O、E、D三点共线,所以存在唯一实数对λ、μ(λ,μ∈R),使得BE=λBO+μBD,且λ+μ=1.②又BD=13BC,∴BE=λBO+13μBC,③应用方程的思想方法.根据①②③得k=λ,k=13μ,λ+μ=1,解得k=14,λ=14,μ=34.∴BE=14BA,∴BE=14BA.5.解析 ∵AP=AQ+QP,BP=BQ+QP,∴(AQ+QP)+2(BQ+QP)+3CP=0,∴AQ+3QP+2BQ+3CP=0,又∵A,B,Q三点共线,C,P,Q三点共线,∴存在λ,μ∈R,使得AQ=λBQ,CP=μQP,∴λBQ+3QP+2BQ+3μQP=0,∴(λ+2)BQ+(3+3μ)QP=0.11
而BQ,QP为不共线向量,∴λ+2=0,3+3μ=0,解得λ=-2,μ=-1.应用方程思想得到关于λ与μ的方程.∴CP=-QP=PQ=p.故CQ=CP+PQ=2p.6.解析 ∵B,P,M三点共线,∴存在实数s,使得BP=sPM,应用三角形法则将BP转化为OP-OB,PM转化为OM-OP.则OP-OB=s(OM-OP),即OP=11+sOB+s1+sOM,即OP=11+sOB+s3(1+s)OA=s3(1+s)a+11+sb.同理,存在实数t,使AP=tPN,则OP=11+ta+t4(1+t)b.将向量问题转化为方程问题.∵a,b不共线,∴11+t=s3(1+s),t4(1+t)=11+s,解得s=92,t=83,∴OP=311a+211b.7.解析 (1)设OM=ma+nb(m,n∈R),则AM=(m-1)a+nb,AD=-a+12b.∵点A、M、D三点共线,∴AM与AD共线,将三点共线转化为向量平行.∴存在实数λ,使得AM=λAD,11
即(m-1)a+nb=λ-a+12b,又a,b不共线,∴m-1=-λ,n=12λ,即m+2n=1.①∵C,M,B三点共线,∴CM与CB共线,∴存在实数μ,使得CM=μCB,又CM=OM-OC=m-14a+nb,CB=-14a+b,∴m-14a+nb=μ-14a+b,又a,b不共线,∴m-14=-14μ,n=μ,将向量问题转化为方程问题.即4m+n=1.②联立①②可得m=17,n=37,∴OM=17a+37b.(2)证明:EM=OM-OE=17-pa+37b,EF=OF-OE=-pa+qb,由题知E、F、M三点共线,∴EF与EM共线,∴存在实数t,使得EM=tEF,将三点共线转化为数乘向量,即17-pa+37b=t(-pa+qb),∵a,b不共线,∴17-p=-pt,37=tq,∴-17p+1=37q,即17p+37q=1.思想方法 转化与化归思想,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而使问题得到解决的一种数学方法.转化与化归思想在平面向量部分常表现为:将平面几何中的一种位置关系转化为两向量的线性关系等.11
