充分条件、必要条件[A级 基础巩固]1．“x＝y”是“|x|＝|y|”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 当x＝y时，|x|＝|y|，可知充分性成立，当|x|＝|y|时，x＝±y，可知必要性不成立，∴“x＝y”是“|x|＝|y|”的充分不必要条件，故选A.2．“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”是我国唐代著名诗人王昌龄的《从军行》中的两句诗，描写了当时战事的艰苦以及戍边将士的豪情壮志，从逻辑学的角度看，最后一句中，“破楼兰”是“终还”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B “破楼兰”不一定“终还”，但“终还”一定是“破楼兰”，由充分条件和必要条件的定义判断可得“攻破楼兰”是“返回家乡”必要不充分条件，故选B.3．已知x∈R，则“x2＝x＋6”是“x＝”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：选B 由于“x2＝x＋6”，则“x＝±”，故“x2＝x＋6”是“x＝”的必要不充分条件．故选B.4．若a为实数，则“a<1”是“>1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：选B 由>1得0<a<1，则“a<1”是“>1”的必要不充分条件，故选B.5．(多选)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中真命题的是( )A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件B．“a>b”是“a2>b2”的充分条件C．“a<5”是“a<3”的必要条件5
D．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件解析：选CD 对于A，因为“a＝b”时ac＝bc成立，ac＝bc，c＝0时，a＝b不一定成立，所以“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故A错；对于B，a＝－1，b＝－2，a>b时，a2<b2；a＝－2，b＝1，a2>b2时，a<b，所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故B错；对于C，因为“a<3”时一定有“a<5”成立，所以“a<5”是“a<3”的必要条件，C正确；对于D“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，D正确．6．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab>0中选出适合下列条件的，用序号填空：(1)“使a，b都为0”的必要条件是________；(2)“使a，b都不为0”的充分条件是________；(3)“使a，b至少有一个为0”的充要条件是________．解析：①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0；②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0或④ab>0⇔或则a，b都不为0.答案：(1)①②③ (2)④ (3)①7．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．解析：p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1.答案：{a|a<1}8．王大妈在地摊上因为一时贪图便宜买了劣质商品，非常气愤的说了句“真是便宜没好货”，按照王大妈的理解，“好货”是“不便宜”的________________条件．解析：“便宜没好货”的另一种理解是“好货不便宜”，而“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“好货”是“不便宜”的充分不必要条件．答案：充分不必要9．指出下列各命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件(用充分，必要作答)．(1)p：x2>0，q：x>0；(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；(3)p：a能被6整除，q：a能被3整除；(4)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等．解：(1)p：x2>0，则x>0，或x<0，q：x>0，故p是q的必要条件，q是p5
的充分条件．(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2，则x＋2≠y，且x＋2≠－y，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．(3)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．(4)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这个角一定不都是直角，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．10．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？哪些命题中p是q的必要条件？(1)若x>2，则|x|>1；(2)若x<3，则x2<4；(3)若x＝1，则x－1＝；(4)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等．解：(1)若x>2，则|x|>1成立，反之当x＝－2时，满足|x|>1但x>2不成立，即p是q的充分条件．(2)若x<3，则x2<4不一定成立，反之若x2<4，则－2<x<2，则x<3成立，即p是q的必要条件．(3)若x＝1，则x－1＝成立，反之当x＝2时，x－1＝成立，但x＝1不成立，即p是q的充分条件．(4)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等不成立，反之也不成立，即p是q的既不充分也不必要条件．[B级 综合运用]11．已知a，b为实数，则“a＋b>4”是“a，b中至少有一个大于2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A “a＋b>4”⇒“a，b中至少有一个大于2”，反之不成立．∴“a＋b>4”是“a，b中至少有一个大于2”的充分不必要条件．故选A.12．(多选)设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是( )解析：选BD 由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L5
亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件．故选B、D.13．若α是β的必要不充分条件，β是γ的充要条件，γ是δ的必要不充分条件，则δ是α的___________条件．解析：由α是β的必要不充分条件，可得β⇒α，α⇒/β，由β是γ的充要条件，可得β⇔γ，由γ是δ的必要不充分条件，可得δ⇒γ，γ⇒/δ，综上可得：δ⇒γ⇒β⇒α，α⇒/β⇒γ⇒/δ，则δ是α的充分不必要条件．答案：充分不必要14．在①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充分必要条件，这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的取值集合M，若问题中的a不存在，说明理由．问题：已知集合A＝{x|x2－4x≤0}，集合B＝{x|1－a≤x≤1＋a}(a>0)，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的______？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：若选①，则A是B的真子集，又A＝[0，4]，所以1－a≤0且1＋a≥4(两等号不同时取得)，又a>0解得a≥3，所以存在a，a的取值集合M＝{a|a≥3}．若选②，则B是A的真子集，所以1－a≥0且1＋a≤4(两等号不同时取得)，又a>0解得0<a≤1，所以存在a，a的取值集合M＝{a|0<a≤1}．若选③，则A＝B，所以1－a＝0且1＋a＝4，又a>0，方程组无解，所以不存在满足条件的a.[C级 拓展探究]15．设a，b，c为△ABC三边长，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0，有公共根的充要条件是∠A＝90°.证明：必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0－b2＝0且a≠c，5
两式相减，得x0＝，将此式代入x＋2ax0＋b2＝0，可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.充分性：∠A＝90°，∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2，①将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0，将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0，故两方程有公共根x＝－(a＋c)．∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2xc－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.5
