充分条件、必要条件基础过关练题组一 充分条件、必要条件与充要条件的判定1.(2020山东泰安一中高一上期中)王昌龄是盛唐时期著名的边塞诗人,被誉为“七绝圣手”,其《从军行》传诵至今,“青海长云暗雪山,孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还.”由此推断,最后一句“攻破楼兰”是“返还家乡”的( ) A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2020山东德州实验中学高一上月考)若集合A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x<0或x>2},则“x∈(A∪B)”是“x∈C”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.q是p的充要条件的是( )A.p:3x+2>5;q:-2x-3>-5B.p:a>2,b>2;q:a>bC.p:四边形的两条对角线互相垂直平分;q:四边形是正方形D.p:a≠0;q:关于x的方程ax=1有唯一解4.如果甲是乙的充要条件,丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么( )A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件5.指出下列各题中,p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答).(1)在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC;10
(2)对于实数x,y,p:x+y=8,q:x=2且y=6;(3)已知x,y∈R,p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)·(y-2)=0.题组二 利用充分条件、必要条件求参数的范围6.已知p:-2<x<4,q:(x+2)(x-a)<0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是( )A.(4,+∞)B.[4,+∞)C.(-∞,4)D.(-∞,4]7.(2020山东菏泽一中等六校高一上第一次联考)若“x∈(1,3)”的必要不充分条件是“x∈(m-2,m+2)”,则实数m的取值范围是( )A.[1,2]B.[1,3]C.(-1,2)D.(1,3)8.设p:0<x<2,q:0<x<m,若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围是 . 9.已知p:x<-3或x>1,q:x>a,若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围为 . 10.已知p:|x-a|<4,q:2<x<3,且q是p的充分不必要条件,则实数a的取值范围为 . 11.已知p:-1<x<2,q:m≤x≤m+1,若p是q的必要条件,则实数m的取值范围是 . 题组三 充分条件、必要条件的探索与证明12.使不等式x-1x>0成立的一个充分不必要条件是( )A.x<1B.x<-1C.x>-1D.x>113.若集合A={x|x>-1},B={x|x≥1},则“x∈A且x∉B”的充要条件是( )A.-1<x≤1B.x≤1C.x>-1D.-1<x<114.(多选)设全集为U,在下列选项中,是B⊆A的充要条件的是( )A.A∪B=BB.(∁UA)∩B=⌀C.(∁UA)⊆(∁UB)D.A∪(∁UB)=U15.求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.10
能力提升练一、单项选择题 1.(2019北京昌平高一期末,)已知a,b是实数,则“a<0且b<0”是“ab(a-b)>0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.()已知a1,a2,b1,b2均为非零实数,不等式a1x+b1<0与不等式a2x+b2<0的解所组成的集合分别为集合M和集合N,则“a1a2=b1b2”是“M=N”的( )A.充分不必要条件B.既不充分也不必要条件C.充要条件D.必要不充分条件3.()若非空集合A,B,C满足A∪B=C,且B不是A的子集,则( )A.“x∈C”是“x∈A”的充分不必要条件B.“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件C.“x∈C”是“x∈A”的充要条件D.“x∈C”是“x∈A”的既不充分也不必要条件4.()对于任意实数x,<x>表示不小于x的最小整数,例如<1.1>=2,<-1.1>=-1,则“|x-y|<1”是“<x>=<y>”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件10
D.既不充分也不必要条件二、多项选择题5.(2020山东济南外国语学校高一上期中,)对任意实数a,b,c,给出下列命题,其中是真命题的是( )A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a>b”是“a2>b2”的充分条件C.“a<5”是“a<3”的必要条件D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件6.()设计如图所示的四个电路图,若p:开关S闭合,q:灯泡L亮,则p是q的充分不必要条件的电路图是( )7.()下列说法中正确的是( )A.“A∩B=B”是“B=⌀”的必要不充分条件B.“x=3”的必要不充分条件是“x2-2x-3=0”C.“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数”D.“|x|=1”是“x=1”的充分条件三、填空题8.()已知p:m-1<x<m+1;q:12<x<23.若p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围是 . 9.()已知p:-4<x-a<4,q:(x-1)(2-x)>0.若q是p的充分条件,则实数a的取值范围是 . 10.()从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一个填空:“ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根”是“ac<0”的 . 四、解答题10
11.(2020山东邹城高三上期中,)已知集合A={x∈R|0<ax+1≤3,a≠0},集合B={x∈R|-1<x≤2}.若命题p:x∈A,命题q:x∈B,且p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.12.()已知p:x+2≥0,x-10≤0,q:1-m≤x≤1+m,m>0.若¬p是¬q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.答案全解全析第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 常用逻辑用语1.2.3 充分条件、必要条件基础过关练10
1.B2.C3.D4.A6.A7.B12.D13.D14.BCD1.B 由题意知“返还家乡”可推出“攻破楼兰”,所以“攻破楼兰”是“返还家乡”的必要条件.2.C 由题意可知,A∪B={x∈R|x<0或x>2},又∵C={x∈R|x<0或x>2},∴A∪B=C,∴“x∈(A∪B)”是“x∈C”的充要条件.思维拓展从集合角度理解充分、必要条件:记p,q对应的集合分别为A,B,则有(1)A⫋B,p是q的充分不必要条件;(2)A⫌B,p是q的必要不充分条件;(3)A=B,p是q的充要条件;(4)A⊈B且A⊉B,p是q的既不充分也不必要条件.3.D 由3x+2>5得x>1,由-2x-3>-5得x<1,故A不符合题意;显然B不符合题意;正方形的对角线互相垂直平分,但是对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形,可以是菱形,故C不符合题意;显然D符合题意.故选D.4.A 因为甲是乙的充要条件,所以乙⇔甲;又因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,所以丙⇒乙,但乙⇒/丙.综上,丙⇒甲,但甲⇒/丙,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.5.解析 (1)在△ABC中,显然有∠A>∠B⇔BC>AC,所以p是q的充要条件.(2)因为x=2且y=6⇒x+y=8,但x+y=8⇒/x=2且y=6,所以p是q的必要不充分条件.(3)因为p对应集合A={(1,2)},q对应集合B={(x,y)|x=1或y=2},所以A是B的真子集,所以p是q的充分不必要条件.6.A 设A={x|-2<x<4},B={x|(x+2)(x-a)<0}.a>-2时,由(x+2)(x-a)<0解得-2<x<a,故B={x|-2<x<a};a=-2时,(x+2)(x-a)<0无解,故B=⌀;a<-2时,由(x+2)(x-a)<0解得a<x<-2,故B={x|a<x<-2}.若p是q的充分不必要条件,则A是B的真子集,故a>4.7.B 由题意得(1,3)是(m-2,m+2)的真子集,令m-2≤1,m+2≥3,解得1≤m≤3,经检验,m=1和m=3均符合题意,10
所以m的取值范围是[1,3].8.答案 (2,+∞)解析 因为p是q的充分不必要条件,所以集合{x|0<x<2}是集合{x|0<x<m}的真子集,故m>2.故m的取值范围为(2,+∞).9.答案 [1,+∞)解析 ∵p是q的必要不充分条件,∴q是p的充分不必要条件,∴a≥1.10.答案 [-1,6]解析 由|x-a|<4,解得a-4<x<a+4.∵q是p的充分不必要条件,∴4+a≥3,a-4≤2,且等号不同时成立,∴-1≤a≤6.∴a的取值范围为[-1,6].11.答案 (-1,1)解析 因为p是q的必要条件,所以q⇒p,即[m,m+1]⊆(-1,2),则m+1<2,m>-1,解得-1<m<1,故m的取值范围为(-1,1).12.D 由x>1能推出x-1x>0,但由x-1x>0不能推出x>1如x=-13;其余选项均不能推出x-1x>0.故使不等式x-1x>0成立的一个充分不必要条件是x>1.故选D.13.D ∵集合A={x|x>-1},B={x|x≥1},x∈A且x∉B,∴-1<x<1,又∵当-1<x<1时,满足x∈A且x∉B,∴“x∈A且x∉B”的充要条件是“-1<x<1”.故选D.14.BCD 由维恩图可知,A不是B⊆A的充要条件,B,C,D都是B⊆A的充要条件,故选BCD.15.证明 充分性:∵a+b+c=0,∴c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0,得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.∴方程ax2+bx+c=0有一个根为1.必要性:∵方程ax2+bx+c=0有一个根为1,10
∴x=1满足方程ax2+bx+c=0,∴a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.能力提升练1.D2.D3.B4.B5.CD6.AD7.ABC一、单项选择题1.D 已知a,b是实数,则“a<0且b<0”不一定能推出“ab(a-b)>0”,比如当a<b<0时,ab(a-b)<0;反之,若ab(a-b)>0,则a-b和ab同号即可,当a>b>0或b<a<0或a<0<b时,均满足ab(a-b)>0,故不能确定a和b的正负.故“a<0且b<0”是“ab(a-b)>0”的既不充分也不必要条件.2.D 取a1=b1=1,a2=b2=-1,则可得M=(-∞,-1),N=(-1,+∞),M≠N,因此充分性不成立,而由M=N,显然可以得到a1a2=b1b2,所以必要性成立.故选D.3.B 因为A∪B=C且B不是A的子集,所以A是C的真子集,所以x∈A一定能得到x∈C,但x∈C不一定能得到x∈A,所以“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件.4.B 令x=1.8,y=0.9,满足|x-y|<1,但<1.8>=2,<0.9>=1,<x>≠<y>;而当<x>=<y>时,必有|x-y|<1,所以“|x-y|<1”是“<x>=<y>”的必要不充分条件.故选B.二、多项选择题5.CD A中,由a=b可以推出ac=bc,充分性成立,由ac=bc不能推出a=b,例如当c=0,a=1,b=2时,1×0=2×0,1≠2,所以必要性不成立,A中的命题是假命题;B中,当a=0,b=-1时,02<(-1)2,不能推出a2>b2,充分性不成立,B中的命题是假命题;C中,由a<3能推出a<5,所以“a<5”是“a<3”的必要条件,C中的命题是真命题;D中,由a+5是无理数可推出a是无理数,所以充分性成立,由a是无理数也可推出a+5是无理数,所以必要性成立,D中的命题是真命题.故选CD.6.AD A中电路图,开关S闭合则灯泡L亮,而灯泡L亮时开关S不一定闭合,故A中p是q的充分不必要条件;B中电路图,开关S闭合则灯泡L亮,灯泡L亮则开关S一定闭合,故B中p是q的充要条件;C中电路图,开关S闭合时灯泡L不一定亮,灯泡L亮则开关S一定闭合,故C中p是q的必要不充分条件;D中电路图,开关S闭合则灯泡L亮,而灯泡L亮时开关S不一定闭合,故D中p是q的充分不必要条件.故选AD.7.ABC 由A∩B=B得B⊆A,所以“B=⌀”可推出“A∩B=B”,反之不一定成立,所以A正确;“x=3”可推出“x2-2x-3=0”,反之不一定成立,所以B正确;“m是有理数”可以推出“m是实数”,反之不一定成立,所以C正确;由“|x|=1”推不出“x=1”,“x=1”可推出“|x|=1”,故“|x|=1”是“x=1”的必要条件,所以D错.故选ABC.10
三、填空题8.答案 -13,32解析 因为p是q的必要不充分条件,所以集合x12<x<23是集合{x|m-1<x<m+1}的真子集,即m-1≤12,m+1≥23,且等号不同时成立,解得-13≤m≤32,故实数m的取值范围是-13,32.9.答案 [-2,5]解析 由-4<x-a<4得a-4<x<a+4,即p:a-4<x<a+4.由(x-1)(2-x)>0得1<x<2,即q:1<x<2.∵q是p的充分条件,∴a+4≥2,a-4≤1,解得-2≤a≤5,∴实数a的取值范围是[-2,5].10.答案 必要条件解析 因为ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根,所以Δ=b2-4ac≥0,此时ac<0不一定成立;但ac<0时,Δ=b2-4ac≥0一定成立,所以“ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根”是“ac<0”的必要条件.四、解答题11.解析 由题意得A⫋B.由集合A得,-1<ax≤2.(※)①当a>0时,由(※)式得A=x|-1a<x≤2a,因为A⫋B,所以-1a≥-1,2a<2或-1a>-1,2a≤2,解得a>1;②当a<0时,由(※)式得A=x|2a≤x<-1a,因为A⫋B,所以2a>-1,-1a≤2,解得a<-2.10
综上,实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(1,+∞).12.解析 由题意得p:-2≤x≤10,所以¬p:x<-2或x>10,同理可得¬q:x<1-m或x>1+m,m>0.因为¬p是¬q的必要不充分条件,所以¬p⇒/¬q,且¬q⇒¬p,所以{x|x<1-m或x>1+m,m>0}是{x|x<-2或x>10}的真子集,用数轴表示如图所示,则m>0,1-m≤-2,1+m>10或m>0,1-m<-2,1+m≥10,解得m≥9.所以实数m的取值范围是{m|m≥9}.10
