高考理科数学模拟考试试卷数学试卷（理科）2022.04说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据。一、填空题（本大题满分55分）本大题共有11小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得5分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1．若复数（是虚数单位），则.2.已知函数，是的反函数，若的图像过点，则.第5题图3.用金属薄板制作一个直径为米，长为3米的圆柱形通风管.若不计损耗，则需要原材料平方米（保留3位小数）.4.设、是平面内一组基向量，且、，则向量可以表示为另一组基向量、的线性组合，即.5.右图是某算法的程序框图，该算法可表示分段函数，则其输出结果所表示的分段函数为.6.关于x、y的二元线性方程组的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为，则7.在极坐标系中，设曲线和相交于点、，则＝.8.设联结双曲线与（，）的个顶点的四边形面积为，联结其个焦点的四边形面积为，则的最大值为.9.将函数的图像向左平移（14/14\n）个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值为第10题图10.园丁要用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图所示圆形花坛的四块区域.要求同一区域内须用同一种颜色的鲜花，相邻区域须用不同颜色的鲜花.设花圃中布置红色鲜花的区域数量为，则随机变量的数学期望.11.已知数列是首项为、公差为1的等差数列，数列满足.若对任意的,都有成立,则实数的取值范围是.二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中.每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.12.以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程的一个法向量的是（）A．；B.；C.;D..13.设数列的首项且前项和为.已知向量，满足，则（）A.；B.;C.;D..14.在△ABC中，“”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．必要非充分条件；B．充分非必要条件；C．充要条件；D．既非充分又非必要条件.15.现有两个命题：（1）若，且不等式恒成立，则的取值范围是集合；（2）若函数，的图像与函数的图像没有交点，则的取值范围是集合；则以下集合关系正确的是（）A．；B.；C.；D..三、解答题（本大题满分79分）本大题共有6题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.16.（本题满分12分）过抛物线的焦点且方向向量为的直线14/14\n交该抛物线于、两点，求的值.17.（本题满分14分）已知复数，（是虚数单位），且.当实数时，试用列举法表示满足条件的的取值集合.18.（本题满分15分，第1小题6分，第2小题9分）若，（、）.(1)求的值；（2）求证：数列各项均为奇数.19.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部是矩形，其中米，米.上部是个半圆，固定点为的中点.是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆（和不重合）.（1）当和之间的距离为1米时，求此时三角通风窗的通风面积；（2）设与之间的距离为米，试将三角通风窗的通风面积14/14\n（平方米）表示成关于的函数；（3）当与之间的距离为多少米时，三角通风窗的通风面积最大？并求出这个最大面积.第19题图20.（本题满分22分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题12分）如图，四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，其中，.，（1）求异面直线与所成角的大小；（2）若平面内有一经过点的曲线，该曲线上的任一动点都满足与所成角的大小恰等于与所成角.试判断曲线的形状并说明理由；（3）在平面内，设点是（2）题中的曲线在直角梯形内部（包括边界）的一段曲线上的动点，其中为曲线和的交点.以为圆心，为半径的圆分别与梯形的边、交于、两点.当点在曲线段上运动时，试提出一个研究有关四面体的问题（如体积、线面、面面关系等）并尝试解决.第20题图【说明：本小题将根据你提出的问题的质量和解决难度分层评分；本小题的计算结果可以使用近似值，保留3位小数】14/14\n上海市普陀区2022学年度第二学期高三年级质量调研数学试卷参考答案及评分标准（文理科）2022.04一、填空题（每题5分，理科总分55分、文科总分60分）：1.；2.理：2；文：；3.理：1.885；文：2；4.理：；文：1.885；5.理：；文：4；6.理：；文：；7.理：；文：；8.理：；文：6；9.理：；文：；10.理：1；文：；11.理：；文：；12.文：；二、选择题（每题4分，总分16分）：题号理12；文13理13；文14理：14；文：15理15；文：16答案ACBC三、解答题：16.（理，满分12分）解：因为抛物线的焦点的坐标为，设、，由条件，则直线的方程为，代入抛物线方程，可得，则.于是，.…2…4…8…1217.（文，满分12分）…414/14\n解：因为，所以由条件可得，.即数列是公比的等比数列.又，所以，.…6…8…12（理）17.（文）18.（满分14分）解：因为所以，即或，或，又由，即当时，或；当时，或.所以，集合.…3…7…11…1418.(理，满分15分，第1小题6分，第2小题9分）解：（1）当时，故，，所以.（2）证：由数学归纳法（i）当时，易知，为奇数；…3…614/14\n（ii）假设当时，，其中为奇数；则当时，所以，又、，所以是偶数，而由归纳假设知是奇数，故也是奇数.综上（i）、（ii）可知，的值一定是奇数.证法二：因为当为奇数时，则当时，是奇数；当时，因为其中中必能被2整除，所以为偶数，于是，必为奇数；当为偶数时，其中均能被2整除，于是必为奇数.综上可知，各项均为奇数.…8…10…14…15…10…14…1519.（文，满分14分）解：如图，设中点为，联结、.AOCB第19题图D由题意，,,所以为等边三角形，故，且.又，所以.而圆锥体的底面圆面积为,所以圆锥体体积.…3…8…10…1414/14\n（理）19.（文）20.（满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）解：（1）由题意，当和之间的距离为1米时，应位于上方，且此时中边上的高为0.5米.又因为米，可得米.所以，平方米，即三角通风窗的通风面积为平方米.（2）1如图（1）所示，当在矩形区域滑动，即时，的面积；2如图（2）所示，当在半圆形区域滑动，即时，，故可得的面积；综合可得：（3）1当在矩形区域滑动时，在区间上单调递减，则有；…2…4…6…9…10…1214/14\n2当在半圆形区域滑动时，，等号成立，.因而当（米）时，每个三角通风窗得到最大通风面积，最大面积为（平方米）.…15…1621（文，满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分）解：（1）设右焦点坐标为（）.因为双曲线C为等轴双曲线，所以其渐近线必为，由对称性可知，右焦点到两条渐近线距离相等，且.于是可知，为等腰直角三角形，则由，又由等轴双曲线中，.即，等轴双曲线的方程为.（2）设、为双曲线直线的两个交点.因为，直线的方向向量为，直线的方程为.代入双曲线的方程，可得，于是有而.（3）假设存在定点，使为常数，其中，为直线与双曲线的两个交点的坐标.…3…5…7…9…1114/14\n①当直线与轴不垂直时，设直线的方程为代入，可得.由题意可知，，则有，．于是，要使是与无关的常数，当且仅当，此时.②当直线与轴垂直时，可得点,，若，亦为常数.综上可知，在轴上存在定点，使为常数.…13…16…17…1814/14\n20（理，满分22分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题12分）解：（1）解法一：由题意，四边形是直角梯形，且∥，则与所成的角即为.因为，又平面，所以平面，则有.因为，,所以，则，即异面直线与所成角的大小为.解法二：如图，以为原点，直线为轴、直线为轴、直线为轴，建立空间直角坐标系.于是有、，则有，又则异面直线与所成角满足,所以，异面直线与所成角的大小为.（2）解法一：由条件，过作，垂足为，联结.于是有，故与所成角即为.在平面中，以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系.设动点，则有又平面，所以.所以，，即.所以，可判定曲线是双曲线.（2）解法二：如图，以为原点，直线为轴、直线为轴、直线为…2…4…2…4…6…8…1014/14\n轴，建立空间直角坐标系.设点，点、点、点，则，，由，，化简整理得到，则曲线是平面内的双曲线.（3）解：在如图所示的的坐标系中，因为、、,设.则有，故的方程为，代入双曲线E：的方程可得，，其中.因为直线与双曲线交于点，故.进而可得，即.故双曲线E在直角梯形内部（包括边界）的区域满足，.又设为双曲线段上的动点，.所以，因为，所以当时，；当时，.而要使圆B与、都有交点，则.…6…8…10…12…1614/14\n故满足题意的圆的半径的取值范围是.【说明】1.若提出的问题在解决过程中不需用到以上结论的，则完整提出问题并解决最高得6分.2.若提出的问题在解决过程中需用到以上结论的，则上述分析过程满分6分；继续深入的研究过程和结论则可参考以下典型问题和解答，最高再得6分.l问题一：求四面体体积的取值范围.因为，所以体积为.故问题可以转化为研究的面积.又因为为直角，所以必为等腰直角三角形.由前述，设，则，故其面积为，所以.于是，.（当点运动到与点重合时，体积取得最大值；当点运动到横坐标时，即长度最小时，体积取得最小值）l问题二：求侧棱与底面所成角大小的取值范围.解：因为，所以即为侧棱与底面所成角.而，由于在区间内递增，所以，即.l问题三：求侧棱与底面所成角大小的取值范围.解：因为，所以即为侧棱与底面所成角.因为，所以，故，.…18…22…18…22…1814/14\n由于在区间内递减，所以，即.l问题四：求侧面和底面所成的二面角大小的取值范围.解：以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系，则有，，，设平面的法向量为.由，，可得平面的一个法向量坐标为.可知，向量是平面的一个法向量，于是向量和的夹角的大小即为二面角平面角的大小.而，经分析可得，在区间内递增.所以，，即二面角大小的取值范围是…22…18…22本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn提供！14/14
