高考理科数学4月份模拟考试试题理科数学命题责任人：吴敏 朱修龙校对责任人：杨海燕说明：①本次考试共3大题，分客观题和主观题，共150分，考试时间为120分钟；②请考生将所有答案填写在答题卡规定位置，答在本卷本上的答案一律无效。一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2.不等式的解集是（ ）A.B.C.D.3.直线与圆相切，则的值为（ ）A.B.C.D.4.若与都是非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分也不必要条件5.函数的单调减区间是（ ）A.B.C.D.6.若函数满足，且时，，则函数的图像与函数的图像的交点的个数为（ ）A.B.C.D.7.方程在内有解，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.10/10\n8.已知正四面体A-BCD中，动点P在内，且点P到平面BCD的距离与点P到点A的距离相等，则动点P的轨迹为（ ）A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分D.一条线段二、填空题：（本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填写在答题卡相应位置）9.已知复数,则化简复数=.10.设函数的反函数为，且的图像过点（，1），则的图像必过定点的坐标是.11.由圆与平面区域所围成的图形（包括边界）的面积为.体重5055606570750．03750．012512.为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是 ．13.已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点间的球面距离为，B、C与A、C间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为.1253414.有五种不同颜色供选择，把右图中五块区域涂色，同一区域同一颜色，相邻区域不同颜色，共有种不同的涂法.（结果用数值表示）15.七月过后，粮食丰收了。农民刘某家的原有粮仓显得太小了，他决定在屋内墙角（如图，墙角∠A=60°）搭建一个急用粮仓。现有一块矩形木板BCDE，刘某在想，木板应该怎样放置才能使粮仓装粮最多？（假定粮仓顶面DEF水平并另用木板盖上）。（1）若矩形木板边长分别为1米和2米，则最大值为10/10\n（2）若矩形木板周长为8米，则最大值为三、解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.16.（本小题满分12分）甲、乙两人按如下规则进行射击比赛，双方对同一目标轮流射击，若一方未击中，另一方可继续射击，甲先射，直到有人命中目标或两人总射击次数达4次为止.若甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为.求：（1）甲在他第二次射击时胜出的概率；（2）比赛停止时，甲、乙两人射击总次数的分布列和期望。·17.（本小题满分12分）设的内角A、B、C所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围.·18.（本小题满分12分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，又CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=（1）求证：AO平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；（3）求点E到平面ACD的距离．·10/10\n19.（本小题满分13分）O某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M、N，交曲线于点P，设（1）将（O为坐标原点）的面积表示成的函数；（2）若在处，取得最小值，求此时的值及的最小值.20.（本小题满分13分）已知方向向量为的直线过椭圆的焦点以及点，椭圆的中心关于直线的对称点在椭圆的右准线上.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的左焦点作一条与两坐标轴都不垂直的直线，交椭圆于P、Q两点，若点M在轴上，且使为的一条角平分线，则称点M为椭圆的“左特征点”，求椭圆的左特征点M的坐标.21.（本小题满分13分）已知数列满足：，且10/10\n（1）设，证明数列是等差数列；（2）求数列、的通项公式；（3）设，为数列的前项和，证明.理科数学一、选择题（每小题5分，共40分）题号12345678答案CABCBCCA二、填空题（每小题5分，共35分）（2）的可能取值为1、2、3、4表示甲第一次就击中目标表示甲第一次未击中，乙第一次击中目标表示甲、乙前一次都未击中，甲第二次击中目标表示前三次射击未中…………………………..8分的分布列为10/10\n1234P…………..10分…………….……..12分17、（本小题满分12分）解：（1）方法一：在中，有由正弦定理得：又，即，又为的内角，…………………………..5分方法二：由得即：（2）由正弦定理得：………………..7分…………………………..10分于是10/10\n故的周长的取值范围为。…………………………..12分18、(本小题满分12分)解：方法一：（1）证明：连结OC．BO=DO，AB=AD，AOBD．BO=DO，BC=CD，COBD．在AOC中，由已知可得AO=1，CO=，而AC=2，，AOC=90°，即AOOC．，AO平面BCD．…………………………..4分（2）取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME//AB，OE//DC．直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．在OME中,EM=AB=，OE=DC=1，OM是直角△AOC斜边Ac上的中线，OM=AC=1，,异面直线AB与CD所成角的大小为．…………………………..8分（3）设点E到平面ACD的距离为h．在ACD中，CA=CD=2，AD=，而,点E到平面ACD的距离为．……………..…..12分方法二：（1）同方法一．（2）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（一1，0，0），C（0，,0），（0,0,l）,E（），=（一1，0，1），（一1，一，0）．，异面直线AB与CD所成角的大小为arccos．（3）解：设平面ACD的法向量为，10/10\n则，令y=I，得是平面ACD的一个法向量．又点E到平面ACD的距离19、（本小题满分13分）解：（1），切线的斜率为，切线的方程为令得…………………..3分,令,得的面积…………………..6分(2)…………………..8分,由,得当时,当时,…………………..11分已知在处,,故有故当时,…………………..13分20、（本小题满分13分）解、（1）直线的方程为 ①…………………..2分10/10\n过原点垂直于的直线方程为 ②解①②得椭圆中心O（0，0）关于直线的对称点在椭圆的右准线上，…………………..4分直线过椭圆的焦点，该焦点的坐标为从而故椭圆C的方程为…………………..6分（2）设左特征点的坐标为，左焦点为，可设直线PQ的方程为由与,消去得又设,则 ③…………………..8分因为为的角平分线,所以,即:…………………..10分将与代入上式化简,得④将③代入④中,得,得即左特征点为…………………..13分21、（本小题满分13分）解：(1),10/10\n为等差数列…………………..3分(2)由(1),从而………………….6分(3),当时,,不等式的左边=7,不等式成立当时,故只要证,………………….8分如下用数学归纳法给予证明:①当时,,时,不等式成立;②假设当时,成立当时,只需证:,即证:………………….10分令,则不等式可化为:即令,则在上是减函数又在上连续,,故当时,有当时,所证不等式对的一切自然数均成立综上所述,成立.………………….13分本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn提供！10/10
