奇偶性的应用[A级 基础巩固]1．(多选)下列函数中是偶函数，且在区间(0，1)上单调递增的是( )A．y＝x2－2 B．y＝C．y＝|x|＋D．y＝解析：选AD 因为f(－x)＝(－x)2－2＝x2－2＝f(x)，所以y＝x2－2是偶函数，在区间(0，1)上为增函数，符合题意；因为f(－x)＝＝－＝－f(x)，y＝是奇函数，不符合题意；因为f(－x)＝|－x|＋＝|x|＋＝f(x)，所以y＝|x|＋(x≠0)是偶函数，当x∈(0，1)时，y＝x＋单调递减，不符合题意；因为f(－x)＝＝＝f(x)，y＝(x≠0)是偶函数，且在区间(0，1)上为增函数，符合题意．故选A、D.2．(多选)已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2＋x＋a－2，则( )A．a＝2B．f(2)＝2C．f(x)是增函数D．f(－3)＝－12解析：选ACD f(x)是R上的奇函数，故f(0)＝a－2＝0得a＝2，故A对；对于B项，f(2)＝4＋2＝6，故B错；对于C项，当x≥0时，f(x)＝x2＋x在[0，＋∞)上为增函数，利用奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0]上为增函数，故f(x)是R上的增函数，故C对；f(－3)＝－f(3)＝－9－3＝－12，故D对；故选A、C、D.3．(2020·天津高考)函数y＝的图像大致为( )解析：选A 法一：令f(x)＝，显然f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数，排除C、D，由f(1)>0，排除B，故选A.6
法二：令f(x)＝，由f(1)>0，f(－1)<0，故选A.4．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是( )A．f(－π)>f(3)>f(－2)B．f(－π)>f(－2)>f(3)C．f(3)>f(－2)>f(－π)D．f(3)>f(－π)>f(－2)解析：选A ∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π，∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2)．5．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是( )A.B.C.D.解析：选A 由题意得|2x－1|<⇒－<2x－1<⇒<2x<⇒<x<，故选A.6．如果函数F(x)＝是奇函数，则f(x)＝________．解析：当x<0时，－x>0，F(－x)＝－2x－3，又F(x)为奇函数，故F(－x)＝－F(x)，∴F(x)＝2x＋3，即f(x)＝2x＋3.答案：2x＋37．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)按从小到大的排列是________．解析：当m＝1时，f(x)＝6x＋2不合题意；当m≠1时，由题意可知，其图像关于y轴对称，∴m＝0，∴f(x)＝－x2＋2，∴f(x)在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减．又0<1<2，∴f(0)>f(1)>f(2)＝f(－2)．答案：f(－2)<f(1)<f(0)8．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，能说明f(x)既是偶函数又在区间(0，6
＋∞)上单调递减的一组整数a、b、c的值依次是a＝________，b＝________，c＝_________．解析：由于函数f(x)＝ax2＋bx＋c为偶函数，则f(－x)＝f(x)，∴ax2－bx＋c＝ax2＋bx＋c，∴2bx＝0对任意的x∈R恒成立，可得b＝0，由于函数f(x)＝ax2＋c在(0，＋∞)上单调递减，则a<0.因此，符合题意的一组整数a、b、c的值可以分别为a＝－1，b＝0，c＝1.答案：－1 0 1(答案不唯一)9．已知f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数，且f(x)在(－1，1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)<0.解：∵f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数，∴由f(1－x)＋f(1－2x)<0，得f(1－x)<－f(1－2x)，∴f(1－x)<f(2x－1)．又∵f(x)在(－1，1)上是减函数，∴解得0<x<，∴原不等式的解集为.10．已知y＝f(x)是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)<0，试问F(x)＝在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论．解：F(x)在(－∞，0)上是减函数．证明如下：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，则有－x1>－x2>0.因为y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)<0，所以f(－x2)<f(－x1)<0.①又因为f(x)是奇函数，所以f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)，②由①②得f(x2)>f(x1)>0.于是F(x1)－F(x2)＝>0，即F(x1)>F(x2)，所以F(x)＝在(－∞，0)上是减函数．[B级 综合运用]11．(多选)函数f(x)同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2，恒有<0.则称函数f(x)为“理想函数”，下列三个函数中，是“理想函数”的有( )6
A．f(x)＝－2xB．f(x)＝x2C．f(x)＝D．f(x)＝解析：选AC 对于定义域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数，对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2，恒有<0，即当x1<x2时，f(x1)>f(x2)，则f(x)是定义域内的减函数，A、C、D是奇函数，B是偶函数，排除B项；A项，f(x)＝－2x是减函数，满足题意；C项，f(x)＝x2(x<0)是减函数，f(x)＝－x2(x≥0)是减函数，而x1<0，x2≥0时，f(x1)>f(x2)，f(x)在R上是减函数，满足题意；D项，f(x)＝在定义域内不是减函数，不满足题意，故选A、C.12．设f(x)为偶函数，且在区间(－∞，0)内是增函数，f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为( )A．(－1，0)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0，2)C．(－2，0)∪(2，＋∞)D．(－2，0)∪(0，2)解析：选C 根据题意，偶函数f(x)在(－∞，0)上为增函数，且f(－2)＝0，则函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(－2)＝f(2)＝0，作出函数f(x)的草图如图所示，又由xf(x)<0，可得或由图可得－2<x<0或x>2，即不等式的解集为(－2，0)∪(2，＋∞)．故选C.13．设偶函数f(x)的定义域为R，函数f(x)在[0，＋∞)上为单调函数，则满足f(x＋1)＝f(2x)的所有x的取值集合为________．解析：∵f(x)为偶函数，∴f(x＋1)＝f(|x＋1|)，f(2x)＝f(|2x|)．又函数f(x)在[0，＋∞)上为单调函数，∴|x＋1|＝|2x|，∴x＋1＝2x或x＋1＝－2x，6
解得x＝1或x＝－.∴满足f(x＋1)＝f(2x)的所有x的取值集合为.答案：14．设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)＝x5＋x3＋b.(1)求b的值；(2)若f(x)在[0，2]上单调递增，且f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．解：(1)因为函数f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，所以f(0)＝0，解得b＝0.(2)因为函数f(x)在[0，2]上是增函数，又因为f(x)是奇函数，所以f(x)在[－2，2]上单调递增，因为f(m)＋f(m－1)>0，所以f(m－1)>－f(m)＝f(－m)，所以m－1>－m，①又不等式f(m)＋f(m－1)>0在函数f(x)定义域范围内有意义，所以②解①②得<m≤2，所以m的取值范围为.[C级 拓展探究]15．已知函数y＝f(x)的定义域为R，满足对任意的x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)>0且f(1)＝2.(1)求f(0)和f(2)的值；(2)证明f(x)的奇偶性；(3)判断f(x)的单调性，并说明理由．解：(1)由题设，令x＝y＝0，恒等式可变为f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，解得f(0)＝0，又f(1)＝2，f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＝2＋2＝4；(2)令y＝－x，则由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)得f(0)＝0＝f(x)＋f(－x)，即得f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．(3)函数f(x)是增函数，理由如下：任取x1<x2，则x2－x1>0，6
由题设x>0时，f(x)>0，可得f(x2－x1)>0，f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)>0，故有f(x2)>f(x1)，所以f(x)是增函数．6
