补集及综合应用[A级 基础巩固]1．体育节到来，多数同学都会参加至少一个运动项目．设集合U＝{甲班全体同学}，集合A＝{参加跳高的甲班同学}，集合B＝{参加跳远的甲班同学}，则∁U(A∩B)表示的是( )A．既参加跳高又参加跳远的甲班同学B．既不参加跳高也不参加跳远的甲班同学C．参加跳高或跳远的甲班同学D．不同时参加跳高和跳远的甲班同学解析：选D 易知A∩B表示的是同时参加跳高和跳远的同学，则∁U(A∩B)表示的是甲班不同时参加跳高和跳远的同学，故选D.2．若全集U＝{a，b，c，d，e，f}，M＝{a，d}，N＝{b，c}，则集合{e，f}等于( )A．∁U(M∩N) B．(∁UM)∩NC．(∁UM)∩(∁UN)D．(∁UM)∪(∁UN)解析：选C 因为全集U＝{a，b，c，d，e，f}，M＝{a，d}，N＝{b，c}，∁UM＝{b，c，e，f}，∁UN＝{a，d，e，f}，所以(∁UM)∩(∁UN)＝{e，f}．故选C.3．设全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9}，B＝{x∈Z|－4<x<4}，则集合(∁UA)∩B中的元素的个数为( )A．3 B．4 C．5 D．6解析：选B ∵U＝R,A＝{x|0<x<9}，∴∁UA＝{x|x≤0，或x≥9}，又∵B＝{x∈Z|－4<x<4}，∴(∁UA)∩B＝{x∈Z|－4<x≤0}＝{－3，－2，－1，0}共4个元素．4．(多选)设全集U＝{1，3，5，7，9}，集合A＝{1，|a－5|，9}，∁UA＝{5，7}，则a的值是( )A．2B．－2C．8D．－8解析：选AC A∪(∁UA)＝U，∴|a－5|＝3，解得a＝2或8.5.已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1，或x＞4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为( )A．{x|－2≤x＜4}B．{x|x≤3或x≥4}5
C．{x|－2≤x≤－1}D．{x|－1≤x≤3}解析：选D 由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁UA)∩B＝{x|－1≤x≤4}∩{x|－2≤x≤3}＝{x|－1≤x≤3}．6．已知集合M＝{x|x＜0或x＞2}，N＝{x|y＝}，则N∩(∁RM)＝________．解析：∵M＝{x|x＜0或x＞2}，∁RM＝{x|0≤x≤2}．又N＝{x|x≥1}，∴N∩(∁RM)＝{x|1≤x≤2}．答案：{x|1≤x≤2}7．已知全集U＝R，M＝(－1，1)，∁UN＝(0，2)，则N＝________，(∁UM)∩N＝________．解析：∵U＝R，∁UN＝(0，2)，∴N＝(－∞，0]∪[2，＋∞)，又M＝(－1，1)，∴∁UM＝(－∞，－1]∪[1，＋∞)∴(∁UM)∩N＝(－∞，－1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，0]∪[2，＋∞) (－∞，－1]∪[2，＋∞)8．已知集合A＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|x<a}．若(∁RA)∩B≠∅，则a的取值范围为________．解析：因为A＝{x|x<3或x≥7}，所以∁RA＝{x|3≤x<7}，又(∁RA)∩B≠∅，则a>3.答案：{a|a>3}9．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，P＝，求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP)． 解：∵A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，∴A∩B＝{x|－1<x<2}．∵∁UB＝{x|x≤－1，或x>3}，∴(∁UB)∪P＝，∴(A∩B)∩(∁UP)＝{x|－1<x<2}∩＝{x|0<x<2}．10．已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}满足(∁UA)∩B＝{2}，A∩(∁UB)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值．解：∵(∁UA)∩B＝{2}，∴2∈B，∴4－2a＋b＝0.①又∵A∩(∁UB)＝{4}，∴4∈A，∴16＋4a＋12b＝0.②5
联立①②，解得[B级 综合运用]11．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩(∁IM)＝∅，则M∪N等于( )A．MB．NC．ID．∅解析：选A 因为N∩∁IM＝∅，所以N⊆M(如图)，所以M∪N＝M.12．(多选)下列结论正确的是( )A．若{x|x＋3>0}∩{x|x－a<0}＝∅，则a<－3B．若{x|x＋3>0}∩{x|x－a<0}＝∅，则a≤－3C．若{x|x＋3>0}∪{x|x－a<0}＝R，则a≥－3D．若{x|x＋3>0}∪{x|x－a<0}＝R，则a>－3解析：选BD 若{x|x＋3>0}∩{x|x－a<0}＝∅，即{x|x>－3}∩{x|x<a}＝∅，则结合数轴可知a≤－3，故A错误，B正确；若{x|x＋3>0}∪{x|x－a<0}＝R，即{x|x>－3}∪{x|x<a}＝R，则结合数轴可知a>－3，故C错误，D正确．故选B、D.13．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，且U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{2，4}表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.已知A＝{1，3}，B⊆U，若集合A∪B表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数为________．解析：由集合A∪B表示的字符串为101001，可知A∪B＝{1，3，6}而A＝{1，3}，B⊆U，则B可能为{6}，{1，6}，{3，6}，{1，3，6}，故满足条件的集合B的个数是4.答案：414．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，求同时参加数学和化学小组的人数．解：设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的维恩图．5
由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．[C级 拓展探究]15．在①B⊆(∁RA)；②(∁RA)∪B＝R；③A∩B＝B这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．若问题中的实数a存在，求a的取值范围；若问题中的实数a不存在，请说明理由．已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}，B＝{x|a＋1<x<2a－1}，是否存在实数a，使得________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}＝{x|1≤x≤4}．若选①：∁RA＝{x|x<1或x>4}，由B⊆(∁RA)得，当B＝∅时，a＋1≥2a－1，解得a≤2；当B≠∅时，或解得a≥3，所以存在实数a，使得B⊆(∁RA)，且a的取值范围为(－∞，2]∪[3，＋∞)．若选②：∁RA＝{x|x<1或x>4}，由(∁RA)∪B＝R，得B≠∅，所以得a无解，所以不存在实数a，使得(∁RA)∪B＝R.若选③：由A∩B＝B可知B⊆A，当B＝∅时，a＋1≥2a－1，解得a≤2；当B≠∅时，解得2<a≤.5
所以，存在实数a，使得A∩B＝B，且a的取值范围为.5
