平面向量数乘运算的坐标表示[A级 基础巩固]1．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝( )A．(2，6) B．(－2，6)C．(2，－6)D．(－2，－6)解析：选D 由题意，得4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，则d＝－4a－4b＋2c－2(a－c)＝－6a－4b＋4c＝(－2，－6)．2．已知点O(0，0)，A(－1，3)，B(2，－4)，＝＋m.若点P在y轴上，则实数m的值为( )A.B.C.D.解析：选A 由题，可得＝(－1，3)，＝(3，－7)，所以＝＋m＝(3m－1，3－7m)．又点P在y轴上，所以3m－1＝0，得m＝，故选A.3．(多选)已知向量a＝(x，3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中不正确的是( )A．存在实数x，使a∥bB．存在实数x，使(a＋b)∥aC．存在实数x，m，使(ma＋b)∥aD．存在实数x，m，使(ma＋b)∥b解析：选ABC 只有D正确，可令m＝0，则ma＋b＝b，无论x为何值，都有b∥b.4．若向量a＝(，1)，b＝(0，－2)，则与a＋2b共线的向量可以是( )A．(，－1)B．(－1，－)C．(－，－1)D．(－1，)解析：选D 法一：∵a＋2b＝(，－3)，∴×－(－1)×(－3)＝0，∴(－1，)与a＋2b是共线向量．故选D.法二：∵a＋2b＝(，－3)＝－(－1，)，∴向量a＋2b与(－1，)是共线向量．故选D.5．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在△AOB内，且∠AOC＝45°，设＝λ＋(1－λ)(λ∈R)，则λ的值为( )5
A.B.C.D.解析：选C 如图所示，由题意，设C(x，－x)，则＝(x，－x)．又因为A(－3，0)，B(0，2)，所以λ＋(1－λ)＝(－3λ，2－2λ)，所以解得λ＝.6．设向量a＝(1，2)，b＝(－3，5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x＝________．解析：由已知，可得(1，2)＋(－3，5)＝λ(4，x)，所以解得所以λ＋x＝－.答案：－7．若点A(－2，0)，B(3，4)，C(2，a)共线，则a＝________．解析：＝(5，4)，＝(4，a)，因为A，B，C三点共线，所以∥，故5a－16＝0，所以a＝.答案：8．设点A(2，0)，B(4，2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为________．解析：∵A(2，0)，B(4，2)，∴＝(2，2)．∵点P在直线AB上，且||＝2||，∴＝2或＝－2，故＝(1，1)或＝(－1，－1)，故点P的坐标为(3，1)或(1，－1)．答案：(3，1)或(1，－1)9．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且＝，＝，求证：∥.证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，5
依题意有＝(2，2)，＝(－2，3)，＝(4，－1)．∵＝，∴＝，∵＝，∴＝.∵＝(x1＋1，y1)＝，∴x1＝－，y1＝，∴E.∵＝(x2－3，y2＋1)＝，∴x2＝，y2＝0，∴F，∴＝又∵4×－×(－1)＝0，∴∥.10．设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1，3)，B(2，－2)，C(4，1)．(1)若＝，求D点的坐标；(2)设向量a＝，b＝，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值．解：(1)设D(x，y)，则＝(1，－5)，＝(x－4，y－1)．∵＝，∴(1，－5)＝(x－4，y－1)，即解得∴D点的坐标为(5，－4)．(2)由题意得a＝＝(1，－5)，b＝＝(2，3)，∴ka－b＝(k－2，－5k－3)，a＋3b＝(7，4)．∵(ka－b)∥(a＋3b)，∴4(k－2)＝7(－5k－3)，5
解得k＝－.[B级 综合运用]11．已知三点A(－1，1)，B(0，2)，C(2，0)，若和是相反向量，则D点坐标是( )A．(1，0)B．(－1，0)C．(1，－1)D．(－1，1)解析：选C ∵与是相反向量，∴＝－.又＝(1，1)，∴＝(－1，－1)．设D(x，y)，则＝(x－2，y)＝(－1，－1)．从而x＝1，y＝－1，即D(1，－1)．故选C.12．(多选)已知点A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)，给出下面四个结论，其中正确的有( )A.与平行B.＋＝C.＋＝D.＝－2解析：选ACD ＝(2，－1)，＝(－2，1)，又2×1－(－1)×(－2)＝0，所以与平行，A正确.＋＝≠，所以B不正确.＋＝(0，2)＝，所以C正确.＝(－4，0)，－2＝(0，2)－(4，2)＝(－4，0)，所以D正确．13．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，则＝________．解析：由题意，得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由(ma＋nb)∥(a－2b)，得－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0，可得＝－.答案：－14．已知点A(x，0)，B(2x，1)，C(2，x)，D(6，2x)．(1)求实数x的值，使向量与共线；(2)当向量与共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？解：(1)∵＝(x，1)，＝(4，x)．5
由∥，得x2＝4，x＝±2.(2)由已知得＝(2－2x，x－1)，当x＝2时，＝(－2，1)，＝(2，1)，∴和不平行，此时A，B，C，D不在一条直线上；当x＝－2时，＝(6，－3)，＝(－2，1)，∴∥，此时A，B，C三点共线．又∥，∴A，B，C，D四点在一条直线上．[C级 拓展探究]15．已知点A(3，1)，B(－1，3)，O是坐标原点，点C满足＝α＋β，其中α，β∈R，且α＋β＝1，求点C的坐标(x，y)满足的关系式．解：由＝α＋β，得(x，y)＝(3α－β，α＋3β)，∴∴∵α＋β＝1，∴x＋2y－5＝0.5
