平面向量共线的坐标表示 (20分钟 35分)1.(2020·菏泽高一检测)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a∥b,则下列关系式一定成立的是( )A.x1y1-x2y2=0 B.x1x2-y1y2=0C.=D.x1y2-x2y1=0【解析】选D.A、B明显错误,C中只有在y1y2≠0时才成立.2.若向量a=(3,2),b=(-1,m),且a∥b,则m=( )A. B.- C. D.-【解析】选B.向量a=(3,2),b=(-1,m),且a∥b,则3m-2×(-1)=0,解得m=-.3.已知向量a=(1-sinθ,1),b=,且a∥b,则锐角θ等于( )A.30°B.45°C.60°D.75°【解析】选B.由a∥b,可得(1-sinθ)(1+sinθ)-=0,即cosθ=±,而θ是锐角,故θ=45°. 【补偿训练】 设a=,b=,且a∥b,则锐角α为( ) A.30°B.60°C.45°D.75°【解析】选A.因为a∥b,所以×-tanα·cosα=0,即sinα=,又α为锐角,故α=30°.4.已知平面向量a=(x,1),b=(-x,x2),则向量a+b( )A.平行于x轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y轴D.平行于第二、四象限的角平分线【解析】选C.a+b=(x,1)+(-x,x2)=(0,x2+1),因为x2+1≥1,所以点(0,x27
+1)在y轴正半轴上.所以a+b平行于y轴.5.(2020·宝山区高一检测)向量a=(1,-2),向量b与a共线,且|b|=4|a|,则b= . 【解析】因为b∥a,令b=λa=(λ,-2λ),又|b|=4|a|,所以(λ)2+(-2λ)2=16×(1+4),故有λ2=16,解得λ=±4,所以b=(4,-8)或(-4,8).答案:(4,-8)或(-4,8)6.已知A,B,C三点的坐标为(-1,0),(3,-1),(1,2),并且=,=,求证:∥.【证明】设E,F的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),依题意有=(2,2),=(-2,3),=(4,-1).因为=,所以(x1+1,y1)=(2,2).所以点E的坐标为.同理点F的坐标为,=.又×(-1)-4×=0,所以∥. (30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若=i+2j,=(3-x)i+(4-y)j(其中i,j的方向分别与x,y轴正方向相同且为单位向量).与共线,则x,y的值可能分别为( )A.1,2B.2,2C.3,2D.2,4【解析】选B.因为=(1,2),=(3-x,4-y),又∥,所以4-y-2×(3-x)=0,即2x-y-2=0,代入检验知B合适.2.(2020·本溪高一检测)已知三点A(-1,1),B(0,2),C(2,0),若和是相反向量,则D点坐标是( )A.(1,1)B.(-1,-1)C.(1,-1)D.(-1,1)【解析】选C.因为与是相反向量,所以=-,又=(1,1),所以7
=(-1,-1).设D(x,y),则=(x-2,y)=(-1,-1).从而x=1,y=-1.即D(1,-1).3.设k∈R,下列向量中,与向量a=(1,-1)一定不平行的向量是( )A.(k,k)B.(-k,-k)C.(k2+1,k2+1)D.(k2-1,k2-1)【解析】选C.因为(k2+1)+(k2+1)=2k2+2>0,所以a与(k2+1,k2+1)一定不平行.4.已知向量a=(x,3),b=(-3,x),则①存在实数x,使a∥b;②存在实数x,使(a+b)∥a;③存在实数x,m,使(ma+b)∥a;④存在实数x,m,使(ma+b)∥b.其中,所有叙述正确的序号为( )A.①②B.③④C.①③D.④【解析】选D.由a∥b⇔x2=-9无实数解,故①不对;又a+b=(x-3,3+x),由(a+b)∥a得3(x-3)-x(3+x)=0,即x2=-9无实数解,故②不对;因为ma+b=(mx-3,3m+x),由(ma+b)∥a得(3m+x)x-3(mx-3)=0.即x2=-9无实数解,故③不对;由(ma+b)∥b得-3(3m+x)-x(mx-3)=0,即m(x2+9)=0,所以m=0,x∈R,故④正确.5.(2020·鞍山高一检测)△ABC中A为其内角,设a=,b=,且a∥b,则sinA+cosA=( )A.B.C.-D.2【解析】选B.a=,b=,且a∥b,所以×-sinAcosA=0,则sinAcosA=.所以(sinA+cosA)2=sin2A+cos2A+2sinAcosA=1+2×=2.由A是△ABC的内角,可得sinA>0,cosA>-1,所以sinA+cosA>-1,则sinA+cosA=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020·泰安高一检测)若三点A(-2,-2),B(0,m),C(n,0)(mn≠0)共线,则+的值为 . 7
【解析】因为A,B,C共线,所以∥.因为=(2,m+2),=(n+2,2),所以4-(m+2)(n+2)=0.所以mn+2m+2n=0.因为mn≠0,所以+=-.答案:-7.已知=(6,1),=(x,y),=(-2,-3),∥,则x+2y= . 【解析】因为=++=(6,1)+(x,y)+(-2,-3)=(x+4,y-2),所以=-=-(x+4,y-2)=(-x-4,-y+2).因为∥,所以x(-y+2)-(-x-4)y=0,即x+2y=0.答案:08.如图所示,在四边形ABCD中,已知A(2,6),B(6,4),C(5,0),D(1,0),则直线AC与BD交点P的坐标为 . 【解析】设P(x,y),则=(x-1,y),=(5,4),=(-3,6),=(4,0).由B,P,D三点共线可得=λ=(5λ,4λ).又因为=-=(5λ-4,4λ),由于与共线得,(5λ-4)×6+12λ=0.解得λ=,所以==,所以P的坐标为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知向量=(4,3),=(-3,-1),点A(-1,-2).(1)求线段BD的中点M的坐标.(2)若点P(2,y)满足点P,B,D三点共线,求y的值.【解析】(1)设B(x1,y1),因为=(4,3),A(-1,-2),7
所以(x1+1,y1+2)=(4,3),所以所以所以B(3,1).同理可得D(-4,-3),设BD的中点M(x2,y2),则x2==-,y2==-1,所以M.(2)=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).因为P,B,D三点共线,所以∥,所以-4+7(1-y)=0,所以y=.10.已知四边形ABCD是边长为6的正方形,E为AB的中点,点F在BC上,且BF∶FC=2∶1,AF与EC相交于点P,求四边形APCD的面积.【解析】以A为坐标原点,所在直线为x轴建立直角坐标系,如图所示,所以A(0,0),B(6,0),C(6,6),D(0,6),F(6,4),E(3,0),设P(x,y),=(x,y),=(6,4),=(x-3,y),=(3,6).由点A,P,F和点C,P,E分别共线,得所以所以=--=36-×3×3-×3×6=.1.已知梯形ABCD,其中AB∥CD,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为 . 【解析】因为在梯形ABCD中,DC=2AB,AB∥CD,7
所以=2.设点D的坐标为(x,y),则=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y),=(2,1)-(1,2)=(1,-1),所以(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2),所以解得故点D的坐标为(2,4).答案:(2,4)2.如图,已知四边形ABCD是正方形,∥,||=||,EC的延长线交BA的延长线于点F,求证:AF=AE.【证明】建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,则A(-1,1),B(0,1),若点E的坐标为(x,y),则=(x,y-1),=(1,-1).因为∥,所以x×(-1)-1×(y-1)=0. ①又||=||,所以x2+y2=2. ②由①②联立,解得点E的坐标为.设点F的坐标为(x′,1),由=(x′,1)和=共线,得x′-=0,所以x′=-(2+),所以点F的坐标为(-2-,1).所以=(-1-,0),=,7
所以||=1+=||,即AF=AE.7
