向量的数乘运算[A级 基础巩固]1．在△ABC中，＝＋，则＝( )A. B.C.D．2解析：选B 因为＝＋，所以－＝－，即＝，所以＝2，所以＝＝，故选B.2.－＝( )A．a－b＋2cB．5a－b＋2cC．a＋b＋2cD．5a＋b解析：选A －＝(3a－2a)＋＋(c＋c)＝a－b＋2c.故选A.3．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝( )A.bB．－bC.bD．－b解析：选B ∵b与a的方向相反，∴存在实数λ<0，使a＝λb，∴|a|＝－λ|b|，即5＝－λ×7，∴λ＝－，∴a＝－b.4．在梯形ABCD中，＝3，则等于( )A．－＋B．－＋C．－＋D．－－解析：选A ∵在梯形ABCD中，＝3，∴＝＋＋＝－6
＋＋＝－＋.故选A.5．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是( )A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2eB．存在不相等的两个实数λ，μ，使λa－μb＝0C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b解析：选AB 对于A，可解得a＝e，b＝－e，故a与b共线；对于B，由于λ≠μ，故λ，μ不全为0，不妨设λ≠0，则由λa－μb＝0得a＝b，故a与b共线；对于C，当x＝y＝0时，a与b不一定共线；对于D，梯形中没有条件AB∥CD，可能AD∥BC，故a与b不一定共线．6．化简(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝________．解析：原式＝a－b－a－b＋a＋b＝a＋b＝0a＋0b＝0.答案：07．已知a与b共线，且方向相同，若|a|＝8|b|，则a＝________b.解析：∵a与b共线，且方向相同，∴a＝λb(λ>0)，∴|a|＝|λb|＝|λ||b|.又|a|＝8|b|，∴|λ|＝8，∴λ＝8.答案：88．如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且＝＝，则＝________.解析：∵＝＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝.又与同向，∴＝.答案：9．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，求(用6
a，b表示)．解：法一：如图所示，在▱ABCD中，AC交BD于点O，则点O平分AC和BD.∵＝3，∴＝，∴N为OC的中点，又M为BC的中点，∴MN綉BO，∴＝＝＝(b－a)．法二：＝＋＋＝－b－a＋＝－b－a＋(a＋b)＝(b－a)．10．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.(1)用e，f表示；(2)证明四边形ABCD为梯形．解：(1)由题意，有＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.(2)证明：由(1)知＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，即＝2.根据向量数乘的定义，与同方向，且的长度为的长度的2倍，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD为梯形．[B级 综合运用]11．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝( )A．aB．bC．cD．0解析：选D 依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，m，n∈R，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na，所以(1＋n)a＝(m＋1)c，又a与c不共线，所以m＝－1，n＝－1，故a＋b＝－c，a＋b＋c＝0.故选D.12.(多选)如图，在梯形ABDC中，AB∥CD，AB＝2CD，AD与BC6
相交于点O，则下列结论正确的是( )A.－＝B.＋＋＋＝0C．|＋2|＝0D.＝＋解析：选ABC 对于A，－＝＝，所以A正确；对于B，＋＋＋＝0，所以B正确；对于C，易知△OCD∽△OBA，所以＝＝，即＝－，所以|＋2|＝|－|＝|0|0，所以C正确；对于D，＝＝(＋)＝(＋2)＝＋，故D不正确．故选A、B、C.13.如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．解析：＝＋＝＋＝m＋，∴＝m－，＝＋＝＋(－)＝－，设＝λ(0≤λ≤1)，则m－＝λ－λ，即(λ－m)＝，∵，不共线，∴∴m＝λ＝.答案：6
14．如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD，求证：M，N，C三点共线．证明：因为＝，＝＝(＋)，所以＝－＝＋－＝－，①＝－＝－，②由①②可知＝3，所以与共线且有公共点M，所以M，N，C三点共线．[C级 拓展探究]15.如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，若＝a，＝b.(1)试用a，b表示，，并判断＋与＋的关系；(2)受(1)的启发，如果点A1，A2，A3，…，An－1是AB的n(n≥3)等分点，你能得出什么结论？证明你的结论．解：(1)＝＋＝＋＝＋＝＋＝a＋b.＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.∴＋＝＋＝a＋b，即＋＝＋.(2)结论：＋＋…＋＝·(a＋b)．6
证明：先证明＋＝＋(1≤k≤n－1，n，k∈N*)，＝＋，＝＋，∵与是相反向量，∴＋＝0，∴＋＝＋.记S＝＋＋＋…＋＋，又S＝＋＋…＋＋，∴2S＝(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＝(n－1)(＋)，∴S＝(＋)，∴＋＋…＋＝(a＋b)．(结论：＋＝＋＝…＝＋也正确，证明略)6
