平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例[A级 基础巩固]1．如果一架飞机向东飞行200km，再向南飞行300km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么( )A．s＞|a| B．s＜|a|C．s＝|a|D．s与|a|不能比大小解析：选A s＝200＋300＝500(km)，|a|＝＝100(km)，∴s＞|a|.故选A.2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )A．40NB．10NC．20ND．10N解析：选B 设夹角90°时，合力为F，|F1|＝|F2|＝|F|cos45°＝10，当θ＝120°，由平行四边形法则知：|F合|＝|F1|＝|F2|＝10N.3．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中点，则cos∠BDC＝( )A．－B.C．0D.解析：选B 如图建立平面直角坐标系，则B(0，0)，A(0，8)，C(6，0)，D(3，4)，∴＝(－3，－4)，＝(3，－4)．又∠BDC为，的夹角，∴cos∠BDC＝＝＝.4．(多选)已知O是四边形ABCD内一点，若＋＋＋＝0，则下列结论错误的是( )A．四边形ABCD为正方形，点O是正方形ABCD的中心B．四边形ABCD为一般四边形，点O是四边形ABCD的对角线交点C．四边形ABCD为一般四边形，点O是四边形ABCD的外接圆的圆心D．四边形ABCD为一般四边形，点O是四边形ABCD对边中点连线的交点6
解析：选ABC 由＋＋＋＝0知，＋＝－(＋)．设AB，CD的中点分别为E，F，由向量加法的平行四边形法则，知＋＝0，O是EF的中点；同理，设AD，BC的中点分别为M，N，则O是MN的中点，所以O是EF，MN的交点．5．(多选)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的三个任意的非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于( )A．以a，b为邻边的平行四边形的面积B．以b，c为邻边的平行四边形的面积C．以a，b为两边的三角形面积的2倍D．以b，c为两边的三角形面积解析：选AC 设b与c的夹角为α，a与b的夹角为θ，则|b·c|＝|b|·|c|·|cosα|＝|b|·|a|·|cos(90°±θ)|＝|b|·|a|·sinθ.故选A、C.6．已知A(3，2)，B(－1，－1)，若点P在线段AB的中垂线上，则x＝________．解析：设AB的中点为M，则M，＝(x－1，－1)，由题意可知＝(－4，－3)，⊥，则·＝0，所以－4(x－1)＋(－1)×(－3)＝0，解得x＝.答案：7．一个物体在大小为10N的力F的作用下产生的位移s的大小为50m，且力F所做的功W＝250J，则F与s的夹角等于________．解析：设F与s的夹角为θ，由W＝F·s，得250＝10×50×cosθ，∴cosθ＝.又θ∈[0，π]，∴θ＝.答案：8.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则||＝________．解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．6
设||＝a(a>0)，则A(0，0)，C(4，a)，D(0，a)，E(2，0)，所以＝(2，－a)，＝(4，a)，因为⊥，所以·＝0，所以2×4＋(－a)·a＝0，即a2＝8，所以a＝2，所以＝(2，－2)，所以||＝＝2.答案：29.如图所示，在等腰直角三角形ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.证明：·＝(＋)·(＋)＝·＝·＝·＝－||2＋||2.因为CA＝CB，所以－||2＋||2＝0，故AD⊥CE.10．某人骑摩托车以20km/h的速度向西行驶，感觉到风从正南方向吹来，而当其速度变为40km/h时，他又感觉到风从西南方向吹来，求实际风速的大小和方向．解：设v1表示20km/h的速度，在无风时，此人感觉到的风速为－v1，实际的风速为v，那么此人所感觉到的风速为v＋(－v1)＝v－v1.如图，令＝－v1，＝－2v1，实际风速为v.∵＋＝，∴＝v－v1.这就是骑车人感觉到的从正南方向吹来的风的速度．∵＋＝，∴＝v－2v1.这就是当车的速度为40km/h时，骑车人感觉到的风速．由题意，得∠DCA＝45°，DB⊥AB，AB＝BC，6
∴△DCA为等腰三角形，DA＝DC，∠DAC＝∠DCA＝45°，∴DA＝DC＝BC.∴|v|＝20km/h.∴实际风速的大小是20km/h，为东南风．[B级 综合运用]11.(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是( )A．绳子的拉力不断增大B．绳子的拉力不断变小C．船的浮力不断变小D．船的浮力保持不变解析：选AC 设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ.则|F|cosθ＝|f|，|F|＝.∵θ增大，cosθ减小，∴|F|增大．∵|F|sinθ增大，∴船的浮力变小．12．在△ABC中，设－＝2·，那么动点M的轨迹必通过△ABC的( )A．垂心B．内心C．外心D．重心解析：选C 假设BC的中点是O，则－＝(＋)·(－)＝2·＝2·，即(－)·＝·＝0，所以⊥，所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心．故选C.13．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3＋4＋5＝0，则·＝________．解析：因为3＋4＋5＝0，所以3＋4＝－5，所以92＋24·＋162＝252.6
因为A，B，C在圆上，所以||＝||＝||＝1.代入原式得·＝0，所以·＝－(3＋4)·(－)＝－(3·＋42－32－4·)＝－.答案：－14．已知e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，今有动点P从P0(－1，2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e1＋e2|；另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e1＋2e2|.设P，Q在t＝0s时分别在P0，Q0处，当⊥时所需的时间t为多少秒？解：e1＋e2＝(1，1)，|e1＋e2|＝，其单位向量为；3e1＋2e2＝(3，2)，|3e1＋2e2|＝，其单位向量为.依题意知，||＝t，||＝t，∵＝||＝(t，t)，＝||＝(3t，2t)，由P0(－1，2)，Q0(－2，－1)，得P(t－1，t＋2)，Q(3t－2，2t－1)，∴＝(－1，－3)，＝(2t－1，t－3)，∵⊥，∴·＝0，即2t－1＋3t－9＝0，解得t＝2.即当⊥时所需的时间为2s.[C级 拓展探究]15．我们把与直线l垂直的向量称为直线l的法向量．设e＝(A，B)是直线l的一个方向向量，那么n＝(－B，A)就是直线l的一个法向量(图①)．借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离．6
已知P是直线l外一点，n是直线l的一个法向量，在直线l上任取一点Q，那么在法向量n上的投影向量为(||cosθ)(θ为向量n与的夹角)，其模就是点P到直线l的距离d，即d＝(图②)．据此，请解决下面的问题：已知点A(－4，0)，B(2，－1)，C(－1，3)，求点A到直线BC的距离．解：设点P(x，y)是直线BC上的任意一点，则∥，又＝(x－2，y＋1)，＝(－3，4)，∴4(x－2)＝－3(y＋1)，即4x＋3y－5＝0，∴直线BC的一个方向向量为.取e＝(3，－4)，则n＝(4，3)为BC的一个法向量，又＝(6，－1)，∴点A到直线BC的距离d＝＝＝.6
