平面向量应用举例 (20分钟 35分)1.(2020·廊坊高一检测)如果一架飞机先向东飞行200km,再向南飞行300km,设飞机飞行的路程为skm,位移的模为akm,则( )A.s>a B.s<aC.s=aD.s与a不能比较大小【解析】选A.物理量中的路程是数量,位移是向量,从而s=500,由位移的合成易得a<500,故s>a.2.在△ABC中,AB=3,AC边上的中线BD=,·=5,则AC的长为( )A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.因为=-=-,所以==-·+,即=1,所以||=2,即AC=2.3.若四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形一定是( )A.正方形B.矩形C.菱形D.直角梯形【解析】选C.因为+=0,所以=,所以四边形ABCD是平行四边形.由(-)·=0,得·=0,所以⊥,即此平行四边形对角线互相垂直,故一定是菱形.4.河水的流速为2m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为( )A.10m/sB.2m/sC.4m/sD.12m/s【解析】选B.由题意知|v水|=2m/s,|v船|=10m/s,作出示意图如图.8
所以小船在静水中的速度大小|v|===2(m/s).5.若O为△ABC所在平面内一点,且满足(-)·(+-2)=0,则△ABC的形状为 . 【解析】(-)·(+-2)=(-)·(-+-)=(-)·(+)=||2-||2=0,所以||=||,所以△ABC为等腰三角形.答案:等腰三角形6.已知等腰△ABC中,BB′,CC′是两腰的中线,且BB′⊥CC′,求顶角A的余弦值.【解析】以底边BC所在的直线为x轴,以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,设A(0,a),C(c,0),则B(-c,0),=(0,a),=(c,a),=(c,0),=(2c,0),=(c,-a).因为BB′,CC′分别为AC,AB边上的中线,所以′=(+)=,′=(+)=.8
又因为′⊥′,所以c·+·=0,即a2=9c2.所以cos∠BAC===,即△ABC的顶角A的余弦值是. (30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.O是平面ABC内的一定点,P是平面ABC内的一动点,若(-)·(+)=(-)·(+)=0,则O为△ABC的( )A.内心B.外心C.重心D.垂心【解析】选B.因为(-)·(+)=0,则(-)·(+)=0,所以-=0,所以||=||.同理可得||=||,即||=||=||,所以O为△ABC的外心.2.已知两个力F1,F2的夹角为90°,它们的合力大小为10N,合力与F1的夹角为60°,那么F1的大小为( )A.5NB.5NC.5ND.10N【解析】选A.画出图形,如图所示,由题意|F1+F2|=10,所以|F1|=|F1+F2|cos60°=5N.3.(2020·宜宾高一检测)如图,△ABC的外接圆的圆心为O,AB=2,AC=3,则·等于( )A.B.C.2D.38
【解析】选B.·=·(-)=·-·,因为OA=OB,所以在上的投影为||,所以·=||·||=2,同理·=||·||=,故·=-2=.4.在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则=( )A.2B.4C.5D.10【解析】选D.将△ABC各边及PA,PB,PC均用向量表示,则=====-6=42-6=10.5.如图,设P为△ABC内一点,且2+2+=0,则S△ABP∶S△ABC=( )A.B.C.D.【解析】选A.设AB的中点是D,连接PD.因为+=2=-,所以=-,所以C,P,D三点共线且P为CD的五等分点,所以△ABP的面积为△ABC的面积的,即=. 【补偿训练】 在△ABC所在平面上有一点P,满足++=,则△PAB与△ABC的面积的比值是 . 【解析】由题意可得+++=0,8
所以+2=0,即=2,所以P是线段AC的三等分点(靠近点A),易知S△PAB=S△ABC,即S△PAB∶S△ABC=1∶3.答案:1∶3二、填空题(每小题5分,共15分)6.单位圆上三点A,B,C满足++=0,则向量,的夹角为 . 【解析】因为A,B,C为单位圆上三点,所以||=||=||=1,又因为++=0.所以-=+.所以=(+)2=++2·,设,的夹角为θ,可得cosθ=-.所以向量,的夹角为120°.答案:120°7.如图,甲,乙两人同时拉动一个有绳相缚的物体,当甲,乙所拉着的绳子与中直线分别成30°和60°的角时,甲和乙的手上所承受的力的比是 . 【解析】|F甲|∶|F乙|=cos30°∶cos60°=∶1.答案:∶18.(2020·张掖高一检测)已知平面上直线l与向量e所在直线平行且e=,点O(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分别是O′和A′,若=λe,则λ= . 【解析】因为=(1,-2),设与e的夹角是θ,因为e=,则·e=-2,即||·|e|cosθ=-2,所以cosθ=-,在e方向上的投影为||cosθ=-2,所以=-2e.8
答案:-2三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,若D为△ABC内一点,且|AB|2-|AC|2=|DB|2-|DC|2,求证:AD⊥BC.【证明】方法一:设=a,=b,=e,=c,=d,则a=e+c,b=e+d,所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2.因为a2-b2=c2-d2,所以c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2,所以e·(c-d)=0.因为=+=d-c,所以·=e·(d-c)=0.又因为≠0,≠0,所以⊥,即AD⊥BC.方法二:因为|AB|2-|AC|2=|DB|2-|DC|2,所以||2-||2=||2-||2.所以(+)·(-)=(+)·(-),即(+)·=(+)·,所以·(+--)=0.即2·=0,所以⊥,即CB⊥AD.10.已知圆C:(x-2)2+y2=4,圆M:(x-2-5cosθ)2+(y-5sinθ)2=1(θ∈R),过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE,PF,切点分别为E,F,求·的最小值.【解析】圆C:(x-2)2+y2=4的圆心C(2,0),半径为2,圆M:(x-2-5cosθ)2+(y-5sinθ)2=1,圆心M(2+5cosθ,5sinθ),半径为1,因为CM=5>2+1,故两圆相离.因为·=||||cos∠EPF,要使·最小,需||||最小且∠EPF最大.8
如图所示,设直线CM和圆M交于H,G两点,则·最小值是·,HC=CM-1=5-1=4,HE===2,sin∠CHE==,所以cos∠EHF=cos2∠CHE=1-2sin2∠CHE=,·=||·||cos∠EHF=2×2×=6.即·的最小值为6.1.(2020·阳泉高一检测)如图所示,在矩形ABCD中,AB=,BC=3,BE⊥AC,垂足为E,则ED= . 【解析】以A为坐标原点,AD,AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(0,),C(3,),D(3,0),=(3,),设=λ,则E的坐标为(3λ,λ),故=(3λ,λ-).因为BE⊥AC,所以·=0,即9λ+3λ-3=0,解得λ=,所以E.故=,||=,即ED=.答案:8
2.在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,M是AC边上靠近A点的一个三等分点,试问:在线段BM(端点除外)上是否存在点P使得PC⊥BM?【解析】以B为原点,BC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.由于AB=AC=5,BC=6,所以B(0,0),A(3,4),C(6,0).则=(3,-4),由于M点是AC边上靠近A点的一个三等分点.所以==,于是M,所以=.假设在BM上存在点P使得PC⊥BM,则设=λ,且0<λ<1,即=λ=,所以=+=(-6,0)+=(4λ-6,λ),由于PC⊥BM,所以·=0,得4(4λ-6)+λ·=0,解得λ=,由于λ=∉(0,1),所以线段BM上不存在点P使得PC⊥BM.8
