向量的实际背景与概念 向量的几何表示相等向量与共线向量[A级 基础巩固]1．下列说法中正确的个数是( )①身高是一个向量；②∠AOB的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量．A．0 B．1C．2D．3解析：选B 身高只有大小，没有方向，故①不是向量，同理③不是向量；∠AOB的两条边只有方向，没有大小，故②不是向量；④是向量．故选B.2．下列说法正确的是( )A．零向量没有方向B．向量就是有向线段C．只有零向量的模等于0D．单位向量都相等解析：选C 零向量的方向是任意的，故A选项错误；有向线段只是向量的一种表示形式，两者不等同，故B选项错误；只有零向量的模等于0，故C选项正确；单位向量的模相等，对于任意两个单位向量若方向不同，则不是相等向量，故D选项错误．故选C.3．(多选)下列能使a∥b成立的是( )A．a＝bB．|a|＝|b|C．a与b方向相反D．|a|＝0或|b|＝0解析：选ACD 对于A，若a＝b，则a与b的长度相等且方向相同，所以a∥b；对于B，若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；对于C，方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；对于D，零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.4.如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是( )A.与B.与C.与6
D.与解析：选D ∵＝，∴四边形ABCD是平行四边形，则AO＝OC，即＝.5．已知集合A＝{b|b是与a共线的向量}，B＝{b|b是与a长度相等的向量}，C＝{b|b是与a长度相等且方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题为假命题的是( )A．C⊆AB．A∩B＝{a}C．C⊆BD．A∩B⊇{a}解析：选B 因为A∩B中包含与a长度相等且方向相反的向量，所以选B.6．下列叙述：(1)单位向量都相等；(2)若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；(3)共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；(4)方向不同的两个向量一定不平行．其中正确的有________．(填所有正确的序号)解析：(1)错误．单位向量的模都相等，但是方向不一定相同．(2)正确．若一个向量的模为0，则该向量是零向量，其方向不确定，是任意的．(3)错误．共线的向量，若起点不同，但终点有可能相同．(4)错误．方向相反的两个向量一定平行．答案：(2)7．如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集M＝{O，A，B，C，D}，向量的集合T＝{|P，Q∈M，且P，Q不重合}，则集合T有__________个元素．解析：根据题意知，由点O，A，B，C，D可以构成20个向量．但它们有12个向量各不相等，由元素的互异性知T中有12个元素．答案：128.如图是3×4的格点图(每个小方格都是边长为1的正方形)，若向量的起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有________个．6
解析：由题意，知与平行且模为的向量共有24个．答案：249．如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点．(1)写出图中所示与向量长度相等的向量；(2)写出图中所示与向量相等的向量；(3)分别写出图中所示与向量，共线的向量．解：(1)与长度相等的向量是，，，，，，，.(2)与相等的向量是，.(3)与共线的向量是，，；与共线的向量是，，.10．在如图所示的坐标纸上(每个小方格都是边长为1的正方形)画出下列向量：(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°方向；(2)，使||＝4，点B在点A正东方向．解：(1)由于点A在点O北偏东45°方向，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量，如图所示．(2)由于点B在点A正东方向，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A6
的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量，如图所示．[B级 综合运用]11．已知在平面内点O固定，且||＝2，则A点构成的图形是( )A．一个点B．一条直线C．一个圆D．不能确定解析：选C 由于||＝2，所以A点构成一个以O为圆心，半径为2的圆．故选C.12.(多选)如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法正确的是( )A．与相等的向量只有一个(不含)B．与的模相等的向量有9个(不含)C.的模恰好为的模的倍D.与不共线解析：选ABC 与相等的向量只有，A正确；由已知条件可得||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||，B正确；如图，过点B作DA的垂线交DA的延长线于E，因为∠DAB＝120°，四边形ABCD为菱形，所以∠BDE＝∠ABE＝30°，在Rt△BED中，||＝，在Rt△AEB中，||＝||＝||，所以||＝＝||，C正确；与方向相同，大小相等，故＝，与共线，D错误．故选A、B、C.13.如图所示，△ABC和△A′B′C′是在各边的三等分点处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC的边长为a，图中画出了若干个向量，6
则(1)与向量相等的向量有________；(2)与向量共线，且模相等的向量有________；(3)与向量共线，且模相等的向量有________．解析：(1)与向量相等的向量有，；(2)与向量共线，且模相等的向量有，，，，；(3)与向量共线，且模相等的向量有，，，，.答案：(1)， (2)，，，，(3)，，，，14．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．(1)作出，，，；(2)求B地相对于A地的位置．解：(1)向量，，，，如图所示．(2)由题意知＝，∴||＝||且AD∥BC，则四边形ABCD为平行四边形，∴＝，则B地相对于A地的位置为北偏东60°方向，距离为6千米．[C级 拓展探究]15．一位模型赛车的赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进1m，然后将行驶方向按逆时针方向旋转角α，继续按直线方向前进1m，再将行驶方向按逆时针方向旋转角α，然后继续按直线方向前进1m……按此方向继续操作下去．(1)作图说明当α＝45°时，最少转向几次可使赛车的位移为零；(2)按此方法操作，试写出三种赛车能回到出发点的情况．6
解：记出发点为A.(1)当α＝45°时，如图①，赛车行进路线构成一个正八边形，赛车所行路程是8m，最少转向7次可使赛车的位移为零．(2)(答案不唯一)当α＝120°时，如图②，赛车行进路线构成一个正三角形，赛车所行路程为3m，最少转向2次可使赛车回到出发点；当α＝90°时，如图③，赛车行进路线构成一个正方形，赛车所行路程为4m，最少转向3次可使赛车回到出发点；当α＝60°时，如图④，赛车行进路线构成一个正六边形，赛车所行路程为6m，最少转向5次可使赛车回到出发点．6
