向量减法运算及其几何意义 (15分钟 30分)1.在平行四边形ABCD中,=a,=b,则的相反向量是( )A.a-bB.b-aC.a+bD.-a-b【解析】选A.因为=-=b-a,所以的相反向量为-(b-a)=a-b.2.在平行四边形ABCD中,--等于( )A.B.C.D.【解析】选D.--=-=+=,又=,所以--=.3.在平行四边形ABCD中,设=a,=b,=c,=d,则下列等式中正确的是( )A.a-b=dB.c-b=aC.b+a=dD.c+a=b【解析】选B.如图,a+b=+=c,即c-b=a.4.已知=a,=b,||=5,||=12,∠AOB=90°,则|a-b|=( )A.7B.17C.13D.8【解析】选C.如图,因为a-b=-=,5
所以|a-b|=||==13.5.已知在△AOB中,=a,=b且满足|a|=|b|=|a-b|=2,求|a+b|与△AOB的面积.【解析】由已知得||=||,以,为邻边作平行四边形OACB,则可知其为菱形,如图,=a+b,=a-b,由于|a|=|b|=|a-b|,即OA=OB=BA,所以△OAB为正三角形,|a+b|=||=2,所以S△OAB=×2×=. (20分钟 40分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.下列式子中不能化简为的是( )A.+(+) B.(+)+(-)C.-+D.+-【解析】选D.D中+-=-=+不能化简为,其余选项皆可.2.(2020·烟台高一检测)化简以下各式:①-+-;②-+;③-+-.结果为零向量的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.0【解析】选C.对①,-+-=(+)-(+)=-=0;对②,-+=5
+=0;对③,-+-=++=+=0.3.若四边形ABCD是正方形,E是CD的中点,且=a,=b,则=( )A.b+aB.b-aC.a+bD.a-b【解析】选B.=+=+=-=b-a.4.若O是△ABC内一点,++=0,则O是△ABC的( )A.内心B.外心C.重心D.垂心【解析】选C.如图,以,为邻边作平行四边形OBDC,则=+,又++=0.所以+=-.所以=-.所以A,O,D三点共线.设OD与BC的交点为E,则E是BC的中点,所以AE是△ABC的中线.同理可证BO,CO都在△ABC的中线上,所以O是△ABC的重心.二、填空题(每小题5分,共10分)5.给出以下五个命题:①若|a|=|b|,则a=b;②任一非零向量的方向都是唯一的;③|a|-|b|<|a+b|;④若|a|-|b|=|a|+|b|,则b=0;⑤已知A,B,C是平面上任意三点,则++=0.其中正确的命题是 .(填序号) 【解析】由|a|=|b|,得不到a=b,因为两个向量相等需要模相等,方向相同,故①不正确;若5
b=0,则|a|-|b|=|a+b|,故③不正确,其他均正确.答案:②④⑤6.如图,||=||=||=||=1,则|-|= . 【解析】在△ABD中,AB=BD=1,∠ABD=120°,-=+=+=.易求得AD=,即||=.所以|-|=.答案:三、解答题7.(10分)已知△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,M是斜边AB的中点,=a,=b,求证:(1)|a-b|=|a|.(2)|a+(a-b)|=|b|.【证明】如图,在等腰Rt△ABC中,由M是斜边AB的中点,得||=||,||=||.(1)在△ACM中,=-=a-b.于是由||=||,得|a-b|=|a|.(2)在△MCB中,==a-b,所以=-=a-b+a=a+(a-b).从而由||=||,得|a+(a-b)|=|b|. 【补偿训练】5
如图,,,在同一平面内,∠AOB=∠BOC=∠COA=120°,且||=||=||=1,求++.【解析】以OA,OB为邻边作平行四边形OADB,因为OA=OB,所以平行四边形OADB为菱形,+=,又因为∠AOB=120°,所以△OAD为等边三角形,所以∠AOD=60°,因为∠COA=120°,所以∠COD=180°, 即C,O,D三点共线,因为||=||=||, 所以=-,所以++=0.5
