向量加法运算及其几何意义 (15分钟 30分)1.下列等式不成立的是( )A.a+0=aB.a+b=b+aC.+=2D.+=【解析】选C.对A,显然成立;对B,满足交换律,成立;对D,满足向量加法的三角形法则,成立;对C,+=0,故C不成立.2.如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线的交点,下列结论正确的是( )A.=,=B.+=C.+=+D.++=【解析】选C.因为四边形ABCD是平行四边形,所以=,=,A选项错误;B选项显然错误;++=,D选项错误;+=,+=,故C选项正确.3.如图所示的方格中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+=( )A.B.C.D.【解析】选C.设a=+5
,以OP,OQ为邻边作平行四边形,则夹在OP,OQ之间的对角线对应的向量a=+,则a与长度相等,方向相同,所以a=.4.在矩形ABCD中,AB=,BC=1,则向量++的长等于( )A.2B.2C.3D.4【解析】选D.矩形ABCD中,AB=,BC=1,所以AC=2,因为++=++=+=2,故其长度为4.5.如图所示,P,Q是△ABC的边BC上两点且+=0.求证:+=+.【证明】因为=+,=+,所以+=+++.又因为+=0,所以+=+. (30分钟 40分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知正方形ABCD的边长为1,=a,=b,=c,则|a+b+c|的值为( )A.0 B.3 C. D.2【解析】选D.因为a+b=c,且|c|=,所以|a+b+c|=|2c|=2.2.(2020·宝山高一检测)下列命题中正确的个数为( )①如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a或b的方向相同;②△ABC中,必有++=0;③若++=0,则A,B,C一定为一个三角形的三个顶点;④若a,b均为非零向量,则|a+b|=|a|+|b|.5
A.0B.1C.2D.3【解析】选B.①错,若a+b=0,则a+b的方向是任意的;②正确;③错,当A,B,C三点共线时,也满足++=0;④错,|a+b|≤|a|+|b|.3.(2020·兖州高一检测)若P为△ABC的外心,且+=,则∠ACB=( )A.105°B.120°C.135°D.150°【解析】选B.因为+=,则四边形APBC是平行四边形.又P为△ABC的外心,所以||=||=||.因此∠ACB=120°.4.若||=8,||=5,则||的取值范围是( )A.[3,8]B.(3,8)C.[3,13]D.(3,13)【解析】选C.当A,B,C不共线时,,,为三角形三边,由三边关系可得8-5<<8+5,所以3<<13;当A,B,C共线且与同向时,=8-5=3,与反向时,=8+5=13.二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,且E,F,G,H分别是所在边的中点,点O是对角线的交点,则下列各式中正确的为 . ①+=②+=+③+=+④+=5
【解析】①由向量加法的平行四边形法则,知+=.又=,所以+=,①正确.②因为=,所以+=+=.因为=,所以+=+=.而≠,所以+≠+,②不正确.=,=,所以+=+,故③正确,=,又+=+=≠,故④不正确.答案:①③6.小船以10km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为10km/h,则小船实际航行速度的大小为 km/h. 【解析】如图,设船在静水中的速度大小为|v1|=10km/h,河水的流速大小为|v2|=10km/h,小船实际航行速度为v0,则由|v1|2+|v2|2=|v0|2,得(10)2+102=|v0|2,所以|v0|=20km/h,即小船实际航行速度的大小为20km/h.答案:20三、解答题7.(10分)如图,已知向量a,b,c,d.(1)求作a+b+c+d.(2)设|a|=2,e为单位向量,求|a+e|的最大值.【解析】(1)在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d,则=a+b+c+d.5
(2)在平面内任取一点O,作=a,=e,则a+e=+=,因为e为单位向量,所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示),由图可知当点B在点B1时,O,A,B1三点共线,所以||即|a+e|最大,最大值是3.5
