总体离散程度的估计[A级 基础巩固]1．(多选)甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表：班级参加人数中位数方差平均数甲55149191135乙55151110135下列结论中，正确的是( )A．甲、乙两班学生成绩的平均水平相同B．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)C．甲班的成绩波动情况比乙班的成绩波动大D．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数解析：选ABC 甲、乙两班成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均水平相同，∴A正确；s＝191>110＝s，∴甲班成绩不如乙班稳定，即甲班成绩波动较大，∴C正确；甲、乙两班人数相同，但甲班成绩的中位数为149，乙班成绩的中位数为151，从而易知乙班每分钟输入汉字数≥150个的人数要多于甲班，∴B正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，D错误．2．若某组数据的方差s2＝[(x1－3)2＋(x2－3)2＋(x3－3)2＋…＋(x6－3)2]，则x1＋x2＋x3＋…＋x6＝( )A．3 B．6C．18D．36解析：选C 由方差公式可知，6个数据的平均数是3，∴x1＋x2＋x3＋…＋x6＝6×3＝18.3．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均数为1，则样本方差为( )A.B.C.D．2解析：选D 由题可知样本的平均数为1，7
所以＝1，解得a＝－1，所以样本的方差为s2＝[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.故选D.4．已知样本数为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形统计图如图所示，则标准差最大的是( )解析：选D 选项A中，样本数据都为5，数据没有波动幅度；选项B中，样本数据为4，4，4，5，5，5，6，6，6；选项C中，样本数据为3，3，4，4，5，6，6，7，7；选项D中，样本数据为2，2，2，2，5，8，8，8，8，故标准差最大的是D.也可由样本数据的离散程度的大小反映标准差，从题图中可以看出D中的数据波动最大．5．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：班级人数平均分数方差甲20甲2乙30乙3其中甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为( )A．3B．2C．2.6D．2.5解析：选C 由题意可知两个班的数学成绩平均数为＝甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为s2＝[2＋(甲－)2]＋[3＋(乙－)2]＝×2＋×3＝2.6.6．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________．7
解析：这组数据的平均数＝(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5)＝5.1，故s2＝[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.答案：0.17．已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1，0，4，x，7，14，中位数为5，则这组数据的平均数为________，方差为________．解析：∵－1，0，4，x，7，14的中位数为5，∴＝5，∴x＝6.∴这组数据的平均数是＝5，这组数据的方差是×(36＋25＋1＋1＋4＋81)＝.答案：5 8．已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2019年8月份调查得知该省二、三、四线所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.7万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市的房价的方差为________．解析：设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知20＝[s2＋(2.4－1.2)2]＋[10＋(1.8－1.2)2]＋[8＋(0.7－1.2)2]，解得s2＝117.98，即二线城市的房价的方差为117.98.答案：117.989．对甲、乙两名同学的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：甲6080709070乙8060708075(1)甲、乙的平均成绩谁最好？(2)谁的各门功课发展较平衡？解：(1)甲＝×(60＋80＋70＋90＋70)＝74，乙＝×(80＋60＋70＋80＋75)＝73，甲>乙，故甲的平均成绩较好．7
(2)s＝×[(60－74)2＋(80－74)2＋(70－74)2＋(90－74)2＋(70－74)2]＝104，s＝×[(80－73)2＋(60－73)2＋(70－73)2＋(80－73)2＋(75－73)2]＝56，由s>s，知乙的各门功课发展较平衡．10．某教育集团为了办好让人民满意的教育，每年年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测评(满意度最高分120分，最低分0分，分数越高说明人民满意度越高，分数越低说明人民满意度越低)．去年测评的数据如下：甲校：96,112,97,108,100,103,86,98；乙校：108,101,94,105,96,93,97,106.(1)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数、中位数；(2)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的方差；(3)根据以上数据你认为甲、乙哪所学校人民满意度比较好？解：(1)甲学校人民满意度测评数据的平均数为甲＝×(96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋98)＝100，中位数为＝99，乙学校人民满意度测评数据的平均数为乙＝×(108＋101＋94＋105＋96＋93＋97＋106)＝100，中位数为＝99.(2)甲学校人民满意度测评数据的方差：s＝×[(96－100)2＋(112－100)2＋…＋(98－100)2]＝55.25，乙学校人民满意度测评数据的方差：s＝×[(108－100)2＋(101－100)2＋…＋(106－100)2]＝29.5.(3)由(1)(2)可知甲、乙两学校人民满意度测评数据的平均数相同，中位数相同，而乙学校人民满意度测评数据的方差小于甲学校的方差，故乙学校人民满意度比较好．[B级 综合运用]11．(多选)某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(每项能力的指标值满分均为5分，分值高者为优)，绘制如图所示的六维能力雷达图，图中点A表示甲的创造能力指标值为4，点B表示乙的空间能力指标值为3，则下列叙述正确的是( )7
A．乙的记忆能力优于甲B．乙的观察能力优于创造能力C．甲的六大能力整体水平优于乙D．甲的六大能力比乙较均衡解析：选BCD 由六维能力雷达图，知乙的记忆能力指标值是4，甲的记忆能力指标值是5，故甲的记忆能力优于乙的记忆能力，故A错误；乙的创造能力指标值是3，观察能力指标值是4，故乙的观察能力优于创造能力，故B正确；甲的六大能力之和为25，乙的六大能力之和为24，所以甲的六大能力整体水平优于乙，故C正确；甲的六大能力指标值的方差为s＝，乙的六大能力指标值的方差为s＝，所以s<s，即甲的六大能力比乙较均衡，D正确．12．若某同学连续3次考试的名次(3次考试均没有出现并列名次的情况)不低于第3名，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是( )A．甲同学：平均数为2，众数为1B．乙同学：平均数为2，方差小于1C．丙同学：中位数为2，众数为2D．丁同学：众数为2，方差大于1解析：选B 甲同学：若平均数为2，众数为1，则有一次名次应为4，故排除A；乙同学：平均数为2，设乙同学3次考试的名次分别为x1，x2，x3，则方差s2＝[(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2]＜1，则(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＜3，所以x1，x2，x3均不大于3，符合题意；丙同学：中位数为2，众数为2，有可能是2，2，4，不符合题意；丁同学：众数为2，方差大于1，有可能是2，2，6，不符合题意．故选B.13．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登记错了，甲实得80分，却记了50分，乙实得70分，却记了100分，7
更正后平均分和方差分别是________，________．解析：因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变．设更正后的方差为s2，则由题意可得s2＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x48－70)2]，而更正前有75＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x48－70)2]，化简整理得s2＝50.答案：70 5014．某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差．解：由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为高＝＝45(岁)，年龄的方差为s＝[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73，所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为＝×38＋×45≈39.2(岁)，该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是s2＝[2＋(38－39.2)2]＋[73＋(45－39.2)2]＝20.64.[C级 拓展探究]15．从某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125]频数62638228(1)根据上表补全所示的频率分布直方图；7
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？解：(1)补全后的频率分布直方图如图所示．(2)质量指标值的样本平均数为80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋02×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数约为100，方差约为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例约为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．7
