三角函数的应用[A级 基础巩固]1．函数f(x)的最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是( )A．y＝sin B．y＝sinC．y＝sinD．y＝sin解析：选D 由最小正周期为，排除A、B；由初相为，排除C.2．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：s1＝5sin，s2＝5cos.则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是( )A．s1＞s2B．s1＜s2C．s1＝s2D．不能确定解析：选C 当t＝时，s1＝－5，s2＝－5，∴s1＝s2.选C.3.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin，t∈[0，＋∞)，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是( )A．2，B.，C.，πD．2，π解析：选B 当t＝0时，θ＝sin＝，由函数解析式易知单摆周期为＝π，故单摆频率为.4.如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )7
解析：选C 设AP所对的圆心角为α，α＝l，弦AP的长d＝2·|OA|·sin，即有d＝f(l)＝2sin.5．电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，则t＝时的电流强度为( )A．0安培B．－5安培C．10安培D．－10安培解析：选A 由题图知A＝10，函数的周期T＝2×＝，∴ω＝＝＝100π，则I＝10sin(100πt＋φ)，将点代入I＝10sin(100πt＋φ)，可得sin＝1，∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又0<φ<π，∴φ＝，故函数解析式为I＝10sin，将t＝代入函数解析式，得I＝0.6．函数y＝－3sin(x≥0)的初相为________．解析：由诱导公式可知y＝－3sin＝3sin，故所求的初相为－.7
答案：－7．已知某种交流电电流i(单位：A)随时间t(单位：s)的变化规律可以用函数i＝5sin，t∈[0，＋∞)表示，则这种交流电电流在0.5s内往复运行________次．解析：∵周期T＝＝(s)，∴频率为每秒50次，∴0.5s往复运行25次．答案：258．温州市某房地产介绍所对本市一楼群的房价进行了统计与预测，发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足函数表达式y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(0<ω<π，|φ|<π)．已知第一、二季度的平均单价如表所示，x12y100009500则此楼群在第三季度的平均单价大约是________元．解析：将表格中的数据分别代入y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(0<ω<π，|φ|<π)，可得ω＝，φ＝0，所以y＝500sinx＋9500，将x＝3代入可得y＝9000.答案：90009．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140mmHg和60～90mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值．记某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p(t)的周期；(2)求此人每分钟心跳的次数；(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较．解：(1)T＝＝＝(min)．(2)f＝＝80.(3)p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)，p(t)min＝115－25＝90(mmHg)．即收缩压为140mmHg，舒张压为90mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90mmHg，在正常值范围内．7
10．如果某地夏天从8～14h的用电量变化曲线近似满足y＝Asin(ωx＋φ)＋b，如图所示．(1)求这一段时间的最大用电量和最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式．解：(1)观察图象知8～14h这一段时间的最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．(2)观察图象可知，T＝14－8＝6，∴T＝12，∴ω＝＝.b＝×(50＋30)＝40，A＝×(50－30)＝10，∴y＝10sin＋40.将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝＋2kπ(k∈Z)，又|φ|＜，∴φ＝.∴所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8，14]．[B级 综合运用]11．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知当时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )A．[0，1]B．[1，7]C．[7，12]D．[0，1]和[7，12]解析：选D 由已知可得该函数的周期T＝12，∴ω＝＝.又∵当t＝0时，A，∴y＝sin，t∈[0，12]．可解得函数的单调递增区间是[0，1]和[7，12]．12.(多选)如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝7
Asin(ωx＋φ)＋B(0<φ<π)，则下列说法正确的是( )A．该函数的周期是16B．该函数图象的一条对称轴是直线x＝14C．该函数的解析式是y＝10sin＋20(6≤x≤14)D．这一天的函数关系式也适用于第二天解析：选AB 由题意以及函数的图象可知，A＋B＝30，－A＋B＝10，∴A＝10，B＝20.∵＝14－6，∴T＝16，A正确；∵T＝，∴ω＝，∴y＝10sin＋20.∵图象经过点(14，30)，∴30＝10sin＋20∴sin＝1，∴φ可以取，∴y＝10sin＋20(0≤x≤24)，B正确，C错误；这一天的函数关系式只适用于当天，第二天这个关系式不一定适用，∴D错误．13．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低，为4千元，则f(x)＝________．解析：由题意得∴周期T＝2×(7－3)＝8，∴ω＝＝.∴f(x)＝2sin＋6.又当x＝3时，y＝8，∴8＝2sin＋6.∴sin＝1，结合|φ|<得φ7
＝－.∴f(x)＝2sin＋6.答案：2sin＋614．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h，低潮时水的深度为8.4m，高潮时水的深度为16m，其中有一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.(1)若从10月10日0：00开始计算时间，用三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；(2)10月10日17：00时，该港口水深约为多少m？(精确到0.1m)解：(1)依题意知T＝＝12，故ω＝，h＝＝12.2，A＝16－12.2＝3.8，所以d＝3.8sin＋12.2，因为t＝4时，d＝16，所以sin＝1，所以φ＝－，所以d＝3.8sin＋12.2.(2)t＝17时，d＝3.8sin＋12.2＝3.8sin＋12.2≈15.5.即该港口的水深约为15.5m.[C级 拓展探究]15．如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数y＝k(k＞0)的图象的一部分，后一段DBC是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，图象的最高点为B，且DF⊥OC，垂足为点F.(1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式；7
(2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为，点E在OC上，求儿童乐园的面积．解：(1)由图象，可知A＝，ω＝＝＝，将B代入y＝sin中，得＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ－(k∈Z)．因为|φ|＜，所以φ＝－，故y＝sin，x∈[4，8]．(2)在y＝sin中，令x＝4，得D(4，4)，从而得曲线OD的方程为y＝2(0≤x≤4)，则P，所以矩形PMFE的面积为S＝×＝，即儿童乐园的面积为.7
