零点的存在性及其近似值的求法[A级 基础巩固]1．已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么在下列区间中，函数f(x)不一定存在零点的是( )x1235f(x)3－120A．(1，2) B．[1，3]C．[2，5)D．(3，5)解析：选D 由图表可知，f(1)＝3，f(2)＝－1，f(3)＝2，f(5)＝0.由f(1)·f(2)＜0，可知函数f(x)在(1，2)上一定有零点；则函数f(x)在[1，3]上一定有零点；由f(2)·f(3)＜0，可知函数f(x)在(2，3)上一定有零点；则函数f(x)在[2，5)上一定有零点；由f(3)＞0，f(5)＝0，可知f(x)在(3，5)上不一定有零点．所以函数f(x)不一定存在零点的是(3，5)．故选D.2．在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是( )A．[1，4] B．[－2，1]C.D.解析：选D ∵第一次所取的区间是[－2，4]，∴第二次所取的区间可能为[－2，1]，[1，4]，∴第三次所取的区间可能为，，，.3．函数f(x)＝x3－9的零点所在的大致区间是( )A．(－1，0)B．(0，1)C．(1，2)D．(2，3)解析：选D 因为函数f(x)＝x3－9在R上单调递增，f(2)＝8－9＝－1＜0，f(3)＝27－9＝18＞0，所以根据零点存在定理，可得函数f(x)＝x3－9的零点所在的大致区间是(2，3)．故选D.4．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：6
x－3－2－101234f(x)6m－4－6－6－4n6不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是( )A．(－3，－1)和(2，4)B．(－3，－1)和(－1，1)C．(－1，1)和(1，2)D．(－∞，－3)和(4，＋∞)解析：选A 因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以方程在(－3，－1)内必有根．又f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以方程在(2，4)内必有根．5．(多选)若函数f(x)的图像在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的是( )A．f(x)在区间(0，1)上一定有零点B．f(x)在区间(0，1)上一定没有零点C．f(x)在区间(1，2)上可能有零点D．f(x)在区间(1，2)上一定有零点解析：AC 因为f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，所以f(0)·f(1)<0，又函数f(x)的图像在R上连续不断，由零点存在定理，可得f(x)在区间(0，1)上一定有零点．又f(1)·f(2)>0，因此无法判断f(x)在区间(1，2)上是否有零点．故选A、C.6．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2，4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)＜0.取区间的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0∈________(填区间)．解析：因为f(2)·f(3)＜0，所以零点在区间(2，3)内．答案：(2，3)7．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是____________．解析：∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b图像与x轴相切．∴Δ＝a2－4b＝0.∴a2＝4b.答案：a2＝4b8．求函数f(x)＝x3－x－1在区间(1，1.5)内的一个零点(精确度ε＝0.1)，用“二分法”逐次计算列表如下：端(中)点的值中点函数值符号零点所在区间|an－bn|6
(1，1.5)0.51.25f(1.25)<0(1.25，1.5)0.251.375f(1.375)>0(1.25，1.375)0.1251.3125f(1.3125)<0(1.3125，1.375)0.0625则函数零点的近似值为________．解析：∵精确度ε＝0.1，由表可知|1.375－1.3125|＝0.0625<0.1，∴函数零点的近似值为1.3125.答案：1.31259．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，求下列条件下，实数a的取值范围．(1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0，1)内，另一个零点在(6，8)内．解：(1)由题可得方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理，得解得2≤a<.(2)由题可得方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理，得f(1)＝5－2a<0，解得a>.(3)由题可得方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(6，8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理，得解得<a<.10．已知函数f(x)＝2x3－1(x∈R)．(1)证明：函数f(x)在(0.5，1)内有一个零点；(2)求出f(x)在区间(0.5，1)内零点的近似解．(精确度为0.1)解：(1)证明：函数f(x)＝2x3－1在区间[0.5，1]上连续．且f(1)＝2－1＝1＞0，f(0.5)＝－1＜0，所以函数f(x)在(0.5，1)内有一个零点．(2)由(1)知f(0.5)＜0，又f(1)＞0，所以方程2x3－1＝0在(0.5，1)内有实数根．如此继续下去，得到方程的一个实数根所在的区间，如下表：6
(a，b)(a，b)的中点f(a)f(b)f(0.5，1)0.75f(0.5)＜0f(1)＞0f(0.75)＜0(0.75，1)0.875f(0.75)＜0f(1)＞0f(0.875)＞0(0.75，0.875)0.8125f(0.75)＜0f(0.875)＞0f(0.8125)＞0因为|0.8125－0.75|＝0.0625＜0.1，所以方程2x3－1＝0的一个近似解可取为0.75.[B级 综合运用]11．(多选)已知y＝f(x)是定义在R上的函数，下列命题正确的是( )A．若f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)>0，则其在(a，b)内没有零点B．若f(x)在区间(a，b)上的图像是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，则其在(a，b)内有零点C．若f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，则其在(a，b)内有零点D．若f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线且单调，又f(a)·f(b)<0成立，则其在(a，b)内有且只有一个零点解析：选CD 对于A，函数y＝x2，满足f(－1)·f(1)>0，在(－1，1)内有零点，故A不正确；对于B，若f(x)在区间(a，b)上的图像是条连续不断的曲线，f(a)＝－1，f(b)＝1，且在(a，b)上f(x)>0恒成立，此时满足f(a)·f(b)<0，但是其在(a，b)内没有零点，故B不正确；对于C，若f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，根据零点的存在定理，可得在(a，b)内有零点，故C正确；对于D,若f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线且单调，又f(a)·f(b)<0成立，根据零点的存在定理，在(a，b)内有且只有一个零点，故D正确．故选C、D.12．(多选)已知函数f(x)，g(x)的图像分别如图①②所示，方程f(g(x))＝1，g(f(x))＝－1，g(g(x))＝－的实根个数分别为a，b，c，则( )A．a＋b＝cB．b＋c＝aC．ab＝cD．b＋c＝2a6
解析：选AD 由题图，方程f(g(x))＝1，－1<g(x)<0，此时对应4个解，故a＝4；方程g(f(x))＝－1，得f(x)＝－1或f(x)＝1，此时有2个解，故b＝2；方程g(g(x))＝－，g(x)取到4个值，如图所示：即－2<g(x)<－1或－1<g(x)<0或0<g(x)<1或1<g(x)<2，则对应的x的解有6个，故c＝6.根据选项，可得A，D成立．故选A、D.13．已知函数f(x)＝如果函数f(x)恰有两个零点，那么实数m的取值范围为________．解析：作出函数y＝－x2－2x和y＝x－4的图像，如图所示，要使函数f(x)恰有两个零点，则－2≤m＜0或m≥4，即实数m的取值范围是[－2，0)∪[4，＋∞)．答案：[－2，0)∪[4，＋∞)14．在一个风雨交加的夜里，某水库闸房(设为A)到防洪指挥部(设为B)的电话线路发生了故障．这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段查找，困难很多，每查一个点需要很长时间．(1)维修线路的工人师傅应怎样工作，才能每查一次，就把待查的线路长度缩减一半？(2)要把故障可能发生的范围缩小到50m～100m左右，最多要查多少次？解：(1)如图所示，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，假设发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D查，这次若发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD段中点E来查，依次类推……(2)每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，因此只要7次就够了．[C级 拓展探究]15．对于函数f(x)，若存在x0，使f(x0)＝x0成立，则称x0为函数f(x)的不动点，已知f(x)＝x2＋bx＋c.6
(1)若f(x)的两个不动点为－3，2，求函数f(x)的零点；(2)当c＝b2时，函数f(x)没有不动点，求实数b的取值范围．解：(1)由题意知f(x)＝x有两根，即x2＋(b－1)x＋c＝0有两根，分别为－3，2.∴∴从而f(x)＝x2＋2x－6.由f(x)＝0，得x1＝－1－，x2＝－1＋.故f(x)的零点为－1±.(2)若c＝，则f(x)＝x2＋bx＋，又f(x)无不动点，即方程x2＋bx＋＝x无解，化简得方程x2＋(b－1)x＋＝0无解，∴Δ＝(b－1)2－b2＜0，即－2b＋1＜0，∴b＞.故b的取值范围是.6
