同角三角函数的基本关系[A级 基础巩固]1．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( )A．tanα＝－ B．cosα＝－C．sinα＝－D．tanα＝解析：选B 由商数关系可知A、D均不正确．当α为第二象限角时，cosα＜0，sinα＞0，故B正确．2．若α∈且sin3α＝，则cos3α＝( )A．－B.C．－D.解析：选B ∵α∈，∴3α∈，∴cos3α＞0，∴cos3α＝＝＝.3．已知sinα－cosα＝－，则tanα＋的值为( )A．－4B．4C．－8D．8解析：选C sinα－cosα＝－⇒(sinα－cosα)2＝⇒1－2sinαcosα＝⇒sinαcosα＝－，∴tanα＋＝＋＝＝－8.故选C.4．若β∈[0，2π)，且＋＝sinβ－cosβ，则β的取值范围是( )A.B.C.D.解析：选B ∵＋＝|sinβ|＋|cosβ|＝sinβ－cosβ，∴7
sinβ≥0且cosβ≤0.又∵β∈[0，2π)，∴β∈.故选B.5．(多选)(2021·山东淄博高一月考)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝，则下列结论正确的是( )A．θ∈B．cosθ＝－C．tanθ＝－D．sinθ－cosθ＝解析：选ABD 由题知sinθ＋cosθ＝，①∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝，∴2sinθcosθ＝－＜0.又∵θ∈(0，π)，∴＜θ＜π，sinθ－cosθ＞0.∵(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝1－＝，∴sinθ－cosθ＝.②联立①②，得∴tanθ＝－.故选A、B、D.6．若sinθ＝－，tanθ>0，则cosθ＝________．解析：由已知条件可得角θ的终边在第三象限，∴cosθ＝－＝－＝－.答案：－7．已知＝－5，那么tanα＝________．7
解析：易知cosα≠0，由＝－5，得＝－5，解得tanα＝－.答案：－8．(2021·山东临沂外国语学校高一月考)若θ为第四象限角，则－化简为________．解析：∵θ为第四象限角，∴sinθ＜0，∴－＝－＝－＝－＝＝＝＝＝.答案：9．求证：＝.证明：法一：∵左边＝＝＝＝＝＝＝右边，∴原等式成立．7
法二：∵右边＝＝，左边＝＝＝＝，∴左边＝右边，原等式成立．10．(2021·湖南衡阳一中高一月考)已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sinθ和cosθ，θ∈(0，π)．求：(1)m的值；(2)＋的值．解：(1)由根与系数的关系可得sinθ＋cosθ＝，∴1＋2sinθcosθ＝，∴2sinθcosθ＝.由根与系数的关系可得sinθcosθ＝＝，∴m＝.(2)∵＋＝＋＝＝sinθ＋cosθ，∴原式＝sinθ＋cosθ＝.[B级 综合运用]11．(多选)下列计算或化简结果正确的是( )A.＝2B．若sinθ·cosθ＝，则tanθ＋＝2C．若tanx＝，则＝17
D．若α为第一象限角，则＋＝2解析：选ABD A正确，＝·＝2；B正确，tanθ＋＝＋＝＝2；C不正确，＝＝＝2；D正确，∵α为第一象限角，∴原式＝＋＝2.故选A、B、D.12．设tan160°＝k，则sin160°＝( )A.B.C.D.解析：选B ∵tan160°＝＝k，∴sin160°＝kcos160°.又∵sin2160°＋cos2160°＝1，∴(kcos160°)2＋cos2160°＝1，∴cos2160°＝.又160°是第二象限角，∴cos160°＜0，∴cos160°＝－，∴sin160°＝kcos160°＝－.故选B.13．若tanα＋＝3，则sinαcosα＝________，tan2α＋＝________．解析：∵tanα＋＝3，∴＋＝3，即＝3，∴sinαcosα＝，tan2α＋＝－2tanα·＝9－2＝7.答案： 77
14．已知在△ABC中，sinA＋cosA＝.(1)求sinAcosA的值；(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tanA的值．解：(1)∵sinA＋cosA＝，①两边平方，得1＋2sinAcosA＝，∴sinAcosA＝－.(2)由sinAcosA＝－<0，且0<A<π，可知cosA<0，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形．(3)∵(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝1＋＝，又∵sinA>0，cosA<0，∴sinA－cosA>0，∴sinA－cosA＝.②由①②可得sinA＝，cosA＝－，∴tanA＝＝＝－.[C级 拓展探究]15．(1)分别计算cos4－sin4和cos2－sin2，cos的值，你有什么发现？(2)计算cos4－sin4，cos2－sin2，cos的值，你有什么发现？(3)证明：x∈R，cos2x－sin2x＝cos4x－sin4x.(4)推测：x∈R，cos2x－sin2x与cos2x的关系，不需证明．解：(1)cos4－sin4＝7
＝cos2－sin2＝－＝＝cos.(2)cos4－sin4＝＝cos2－sin2＝－＝0＝cos.(3)证明：cos4x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝cos2x－sin2x.(4)推测cos2x－sin2x＝cos2x.7
