补集及综合应用[A级 基础巩固]1．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤2x＋1＜9}，则∁UA＝( )A．{x|x＜0或x＞4} B．{x|x≤0或x＞4}C．{x|x≤0或x≥4}D．{x|x＜0或x≥4}解析：选D ∵全集U＝R，集合A＝{x|1≤2x＋1＜9}＝{x|0≤x＜4}，∴∁UA＝{x|x＜0或x≥4}，故选D.2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩(∁RB)等于( )A．{x|x＞1}B．{x|x≥1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x≤2}解析：选D 由题意可知∁RB＝{x|x≥1}，∴A∩(∁RB)＝{x|1≤x≤2}．3．(多选)设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，则( )A．A∩B＝{0，1}B．∁UB＝{4}C．A∪B＝{0，1，3，4}D．集合A的真子集个数为8解析：选AC 选项A，由题意，A∩B＝{0，1}，正确；选项B，∁UB＝{2，4}，不正确；选项C，A∪B＝{0，1，3，4}，正确；选项D，集合A的真子集个数有23－1＝7，不正确．4．(2021·全国统一考试模拟演练)已知M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，则M∪(∁RN)＝( )A．∅ B．MC．ND．R解析：选B 根据题意画出Venn图，因为M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，所以∁RN⊆M，M∪(∁RN)＝M，故选B.5．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x<2}，且A∪(∁RB)＝R，则a满足( )A．a≥2B．a>2C．a<2D．a≤2解析：选A ∁RB＝{x|x≥2}，则由A∪(∁RB)＝R，得a≥2，故选A.6．设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁UA)∪B＝__________．解析：因为∁UA＝{x|x>2或x<0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(∁UA)∪B＝{x|x<0或x≥1}．4
答案：{x|x<0或x≥1}7．设全集U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1，2}，则实数m＝________．解析：∵∁UA＝{1，2}，∴A＝{0，3}，∴0，3是方程x2＋mx＝0的两个根，∴m＝－3.答案：－38．若U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则B∩(∁UA)＝________，∁U(A∪B)＝________．解析：因为U＝{n|n是小于9的正整数}，所以U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，则A＝{1，3，5，7}，B＝{3，6}，所以∁UA＝{2，4，6，8}，A∪B＝{1，3，5，6，7}，所以B∩(∁UA)＝{6}∁U(A∪B)＝{2，4，8}．答案：{6} {2，4，8}9．已知集合U＝{x∈Z|－2＜x＜10}，A＝{0，1，3，4，8}，B＝{－1，1，4，6，8}．求A∩B，∁U(A∪B)，A∩(∁UB)，B∪(∁UA)．解：集合U＝{x∈Z|－2＜x＜10}＝{－1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A＝{0，1，3，4，8}，B＝{－1，1，4，6，8}，所以A∩B＝{1，4，8}，A∪B＝{－1，0，1，3，4，6，8}，所以∁U(A∪B)＝{2，5，7，9}，又∁UB＝{0，2，3，5，7，9}，∁UA＝{－1，2，5，6，7，9}，所以A∩(∁UB)＝{0，3}，B∪(∁UA)＝{－1，1，2，4，5，6，7，8，9}．10．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，P＝，求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP)． 解：∵A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，∴A∩B＝{x|－1<x<2}．∵∁UB＝{x|x≤－1或x>3}，∴(∁UB)∪P＝，∴(A∩B)∩(∁UP)＝{x|－1<x<2}∩＝{x|0<x<2}．[B级 综合运用]4
11．(多选)已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3或4＜x＜6}，集合B＝{x|2≤x＜5}，下列集合运算正确的是( )A．∁UA＝{x|x＜1或3＜x＜4或x＞6}B．∁UB＝{x|x＜2或x≥5}C．A∩(∁UB)＝{x|1≤x＜2或5≤x＜6}D．(∁UA)∪B＝{x|x＜1或2＜x＜5或x＞6}解析：选BC 依题意，∁UA＝{x|x＜1或3＜x≤4或x≥6}，A不正确；∁UB＝{x|x＜2或x≥5}，B正确；A∩(∁UB)＝{x|1≤x＜2或5≤x＜6}，C正确；(∁UA)∪B＝{x|x＜1或2≤x＜5或x≥6}，D不正确．12．设全集为U，定义集合M与N的运算：M*N＝{x|x∈(M∪N)且x∉(M∩N)}，则N*(N*M)＝( )A．MB．NC．M∩∁UND．N∩∁UM解析：选A 如图所示，由定义可知N*M为图中的阴影区域，∴N*(N*M)为图中阴影Ⅰ和空白的区域，即N*(N*M)＝M，故选A.13．设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝，B＝{(x，y)|y＝x＋1}，则(∁UA)∩B＝________．解析：∵A＝＝{(x，y)|y＝x＋1，x≠2}，∴∁UA＝{(x，y)|y≠x＋1}∪{(2，3)}．又B＝{(x，y)|y＝x＋1}，∴(∁UA)∩B＝{(2，3)}．答案：{(2，3)}14．已知集合U＝R，M＝{x|3a＜x＜2a＋5}，P＝{x|－2≤x≤1}，若M∁UP，求实数a的取值范围．解：由题意得∁UP＝{x|x＜－2或x＞1}．∵M∁UP，∴分M＝∅和M≠∅两种情况讨论．①当M＝∅时，有3a≥2a＋5，即a≥5.②当M≠∅时，由M∁UP，可得或即a≤－或≤a＜5.4
综上可知，实数a的取值范围是.[C级 拓展探究]15．(2021·广东佛山调研)对于集合A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1，2}，B＝{3，4}，则有A×B＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}，B×A＝{(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，A×A＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}，B×B＝{(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}．据此，试回答下列问题：(1)已知C＝{a}，D＝{1，2，3}，求C×D；(2)已知M×N＝{(1，2)，(2，2)}，求集合M，N；(3)若A中有3个元素，B中有4个元素，试确定A×B中有几个元素．解：(1)C×D＝{(a，1)，(a，2)，(a，3)}．(2)∵M×N＝{(1，2)，(2，2)}，∴M＝{1，2}，N＝{2}．(3)从以上解题过程中可以看出，A×B中元素的个数与集合A和B中的元素个数有关，即集合A中的每一个元素与B中的每一个元素对应后，得到A×B中的元素，若A中有m个元素，B中有n个元素，则A×B中的元素个数应为m×n.故若A中有3个元素，B中有4个元素，则A×B中元素的个数为3×4＝12.4
