等差数列的定义(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知等差数列－5，－2，1，…，则该数列的第20项为( )A．52 B．62 C．－52 D．－62A [d＝－2－(－5)＝3，a20＝－5＋(20－1)×3＝52．]2．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝( )A．－1B．0C．1D．6B [法一：设{an}的首项为a1，公差为d，则有得所以a6＝a1＋5d＝0．法二：因为a6－a4＝a4－a2，所以a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0．]3．等差数列1，－1，－3，－5，…，－91，它的项数是( )A．92B．47C．46D．45B [a1＝1，d＝－1－1＝－2，∴an＝1＋(n－1)·(－2)＝－2n＋3，由－91＝－2n＋3，得n＝47．]4．若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an}是( )A．公差为1的等差数列B．公差为的等差数列C．公差为－的等差数列D．不是等差数列B [由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝．所以数列{an}是公差为的等差数列．]5．等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是( )A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项B [a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，∴a7＝2>0，a8＝－1<0．]二、填空题6．在数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋3(n≥2)，则an＝____________．3n [因为n≥2时，an－an－1＝3，所以{an}是以a1＝3为首项，公差d＝3的等差数列．所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝3n．]4
7．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________．13 [设公差为d，则a5－a2＝3d＝6，∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13．]8．某公司经销一种数码产品，第1年获得的利润为200万元，从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，若该公司不调整经营策略，则an(an为第n年获得的利润)与n的关系为__________，该公司从第__________年起，经销这一产品将亏损．an＝－20n＋220 12 [由题意，可知每年获得的利润构成等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220．若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝－20n＋220<0，解得n>11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．]三、解答题9．在等差数列{an}中．(1)已知a1＝8，a9＝－2，求d与a14；(2)已知a3＋a5＝18，a4＋a8＝24，求d．[解] (1)由a9＝a1＋8d＝－2，∵a1＝8．∴d＝－，∴a14＝a1＋13d＝8＋13×＝－．(2)由(a4＋a8)－(a3＋a5)＝4d＝6．∴d＝．10．已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N＋)．(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解] (1)证明：∵an＋1＝，∴＝＝＝＝＋，即－＝，∴是等差数列．(2)由(1)可知＝＋(n－1)×＝，即an＝，n∈N＋．4
1．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是( )A．B．C．D．C [设an＝－24＋(n－1)d，由解得<d≤3．]2．(多选题)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．关于这个问题，下列说法正确的是( )A．甲得钱是戊得钱的2倍B．乙得钱比丁得钱多钱C．甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱AC [依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，且a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，即a＝－6d，又a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5，∴a＝1，d＝－，即a－2d＝1－2×＝，a－d＝1－＝，a＋d＝1＋＝，a＋2d＝1＋2×＝，∴甲得钱，乙得钱，丙得1钱，丁得钱，戊得钱，则有如下结论：甲得钱是戊得钱的2倍，故A正确；乙得钱比丁得钱多－＝钱，故B错误；甲、丙得钱的和是乙得钱的＝2倍，故C正确；4
丁、戊得钱的和比甲得钱多＋－＝钱，故D错误．故选AC．]3．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列．若an＝bn，则n的值为________．5 [an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，令an＝bn，得3n－1＝4n－6，∴n＝5．]4．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则a15＝_______． [等号两边同时取倒数，有＝＋1，所以－＝1，即是以1为首项，1为公差的等差数列，所以＝n，故＝15，a15＝，故答案为：．]已知数列{an}满足：a1＝10，a2＝5，an－an＋2＝2(n∈N＋)，求数列{an}的通项公式．[解] 由an－an＋2＝2可知an＋2－an＝－2，即{an}的奇数项，偶数项分别成等差数列．(1)当n＝2k－1时，a2k－1＝10＋(k－1)×(－2)＝12－2k，∴an＝12－(n＋1)＝11－n(n为奇数)．(2)当n＝2k时，a2k＝5＋(k－1)×(－2)＝7－2k，∴an＝7－n(n为偶数)．∴an＝4
