函数的平均变化率(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为( )A．3 B．2 C．1 D．4B [由已知得：＝3，∴m＋1＝3，∴m＝2．]2．已知函数f(x)＝－x2＋x，则f(x)从－1到－0.9的平均变化率为( )A．3B．0.29C．2.09D．2.9D [f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2．f(－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71．∴平均变化率为＝＝2.9，故选D．]3．一运动物体的运动路程s(x)与时间x的函数关系为s(x)＝－x2＋2x，则s(x)从2到2＋Δx的平均速度为( )A．2－ΔxB．－2－ΔxC．2＋ΔxD．(Δx)2－2·ΔxB [∵s(2)＝－22＋2×2＝0，s(2＋Δx)＝－(2＋Δx)2＋2(2＋Δx)＝－2Δx－(Δx)2，∴＝－2－Δx，故选B．]4．已知函数y＝f(x)＝x2＋1的图像上一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则等于( )A．2B．2ΔxC．2＋ΔxD．2＋(Δx)2C [2＋Δy＝f(1＋Δx)＝(1＋Δx)2＋1＝2＋2Δx＋(Δx)2，∴Δy＝(Δx)2＋2Δx，∴＝2＋Δx．]5．函数y＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，则( )4
A．k1>k2B．k1<k2C．k1＝k2D．不确定A [∵k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx，又由题意知Δx>0，故k1>k2．]二、填空题6．已知函数y＝f(x)＝，则此函数在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率为________．－ [＝＝＝．]7．已知函数y＝f(x)＝－x2＋x在区间[t，1]上的平均变化率为2，则t＝__________．－2 [因为Δy＝f(1)－f(t)＝(－12＋1)－(－t2＋t)＝t2－t，所以＝＝－t，又因为＝2，所以t＝－2．]8．在北京奥运会上，牙买加飞人博尔特刷新了百米世界纪录9.69秒，通过计时器发现前50米用时5.50秒，那么在后50米他的平均速度是________米/秒．(精确到0.01)11.93 [Δs＝100－50＝50，Δt＝9.69－5.50＝4.19，＝≈11.93米/秒．]三、解答题9．计算函数f(x)＝x2在区间[1，1＋Δx]上(Δx>0)的平均变化率，其中Δx的值为：(1)2； (2)1； (3)0.1； (4)0.01．并思考：当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？[解] ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－12＝(Δx)2＋2Δx，∴＝＝Δx＋2．(1)当Δx＝2时，＝Δx＋2＝4；(2)当Δx＝1时，＝Δx＋2＝3；(3)当Δx＝0.1时，＝Δx＋2＝2.1；4
(4)当Δx＝0.01时，＝Δx＋2＝2.01．∴当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率逐渐变小，并接近于2．10．若函数y＝f(x)＝－x2＋x在[2，2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围．[解] ∵函数y＝f(x)在[2，2＋Δx]上的平均变化率为＝＝＝＝－3－Δx，∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2．又∵Δx>0，∴Δx>0，即Δx的取值范围是(0，＋∞)．1．设函数f(x)＝2x＋1在区间[－3，－1]上的平均变化率为a，在区间[3，5]上的平均变化率为b，则下列结论中正确的是( )A．a>bB．a<bC．a＝bD．不确定C [由已知可得a＝＝2，b＝＝2，因此a＝b．]2．在x＝1附近取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝中，平均变化率最大的是( )A．④B．③C．②D．①B [根据平均变化率的定义计算知y＝x3的最大．]3．已知曲线y＝x2－1上两点A(2，3)，B(2＋Δx，3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________．5 4.1 [当Δx＝1时，割线AB的斜率k1＝＝＝＝5．当Δx＝0.1时，割线AB的斜率k2＝＝＝4.1．]4．物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图，则在0到t0范围内甲的平均速度________乙的平均速度(填“等于”“大于”或“小于”)．4
等于 [由图可知，在[0，t0]上，甲的平均速度与乙的平均速度相同．]路灯距地面8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线离开路灯．(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；(2)求人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率．[解] (1)如图所示，设人从C点运动到B处的路程为xm，AB为身影长度，AB的长度为ym，由于CD∥BE，则＝，即＝，所以y＝f(x)＝x．(2)84m/min＝1.4m/s，在[0，10]内自变量的增量为x2－x1＝1.4×10－1.4×0＝14，f(x2)－f(x1)＝×14－×0＝．所以＝＝．即人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率为．4
