等差数列的前n项和(建议用时：40分钟)一、选择题1．在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝( )A．7 B．15 C．20 D．25B [设{an}的首项为a1，公差为d，则有所以所以S5＝5a1＋d＝15．]2．“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“三角形垛”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛(俯视如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…)．若一“落一形”三角锥垛有6层，则该堆垛第6层的小球个数为( )三角锥垛A．45B．36C．28D．21D [由题意分析可得a1＝1，a2＝1＋2＝3，a3＝1＋2＋3＝6，…，则“三角形数”的通项公式an＝，a6＝＝21．故选D．]3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( )A．5B．7C．9D．11A [法一：∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，∴S5＝＝5a3＝5，故选A．法二：∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1，∴S5＝5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5，故选A．]4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝( )5
A．1B．－1C．2D．A [＝＝＝×＝1．]5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，那么的值为( )A．B．C．D．D [设S4＝m，则S8＝3m，由性质得S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，S4＝m，S8－S4＝2m，所以S12－S8＝3m，S16－S12＝4m，所以S16＝10m，∴＝＝．]二、填空题6．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－48，则Sn取得最小值时，n为________．23或24 [∵a24＝0，∴a1<0，a2<0，…，a23<0，故S23＝S24最小．]7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝22，S5＝100，则S10＝________．350 [法一：设等差数列{an}的公差为d，则解得所以S10＝10×8＋×10×9×6＝350．法二：设Sn＝An2＋Bn，则解得所以S10＝3×102＋5×10＝350．]8．古有女子善织布，初日织三尺，日增等尺，第四日织九尺，则第七日织__________尺，八日共织__________尺．15 80 [设该女子第n(n∈N*)日织an尺布，可知数列{an}为等差数列，设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则，解得，∴a7＝a1＋6d＝15，S8＝8a1＋d＝8×3＋28×2＝80．因此，该女子第七日织15尺布，八日共织80尺布．故答案为：15；80．]三、解答题9．在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小．[解] (1)由题意得解得a1＝－9，d＝3，∴an＝3n－12．(2)法一：Sn＝＝(3n2－21n)5
＝－，∴n＝3或4，此时S3＝S4＝－18．∴当n＝3或4时，前n项和取得最小值－18．法二：设前n项的和取得最小，则得3≤n≤4，∴n＝3或4．此时S3＝S4＝－18．∴当n＝3或4时，前n项和取得最小值－18．10．一支车队有15辆车，某天依次出发执行任务．第1辆车于下午2时出发，第2辆车于下午2时10分出发，第3辆车于下午2时20分出发，依此类推．假设所有的司机都连续开车，并且都在下午6时停下休息．(1)到下午6时，最后一辆车行驶了多长时间？(2)如果每辆车的行驶速度都是60km/h，这支车队当天总共行驶了多少路程？[解] 由题意，知第1辆车在休息之前行驶了240min，各辆车行驶的时间构成一个等差数列{an}，其中a1＝240，公差d＝－10，则an＝240－10(n－1)＝－10n＋250．(1)∵a15＝－10×15＋250＝100，∴到下午6时，最后一辆车行驶了100min．(2)这支车队所有车辆行驶的总时间为×15＝2550(min)＝(h)，∴这支车队当天总共行驶的路程为×60＝2550(km)．1．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2011＝S2017，Sk＝S2007，则正整数k为( )A．2016B．2019C．2018D．2021D [因为等差数列的前n项和Sn可看成是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2011＝S2017，Sk＝S2007，可得＝，解得k＝2021．故选D．]2．(多选题)已知等差数列的前n项和为Sn，若S13<0，S12>0，则下列说法正确的有( )A．a6<0B．a7<0C．a6＋a7<0D．a6＋a7>0BD [由题知，S13＝13a7<0，S12＝＝6(a6＋a7)>0，所以a7<0，a6＋5
a7>0．所以a6>－a7>0．故选BD．]3．设首项为a1，公差为d的递增等差数列{an}的前n项和为Sn，其中a1，d为实数，若S3·S4＋12＝0，则d的取值范围是__________．[4，＋∞) [因为S3＝3a1＋×d＝3a1＋3d，S4＝4a1＋d＝4a1＋6d，所以S3·S4＋12＝(3a1＋3d)(4a1＋6d)＋12＝0，所以2a＋5a1d＋3d2＋2＝0，因为关于a1的方程有实数根，所以Δ＝25d2－4×2×(3d2＋2)≥0，即d2≥16，解得d≤－4或d≥4，又数列{an}为递增数列，则d≥4，∴d的取值范围是[4，＋∞)．故答案为：[4，＋∞)．]4．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列是首项为，公差为的等差数列，则{an}的通项公式为__________；若[x]表示不超过x的最大整数，如[0.5]＝0，[lg499]＝2，则数列{[lgan]}的前2000项的和为__________．an＝ 3782 [∵数列是首项为，公差为的等差数列，∴＝＋(n－1)×＝，得到Sn＝，当n＝1时，a1＝S1＝＝，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，又a1＝，∴an＝，∴[lgan]＝，当－1≤lgan<0时，n＝1，当0≤lgan<1时，n＝2，3，…，19，当1≤lgan<2时，n＝20，21，…，199，当2≤lgan<3时，n＝200，201，…，1999，当lgan＝3时，n＝2000，故数列{[lgan]}的前2000项的和为：[lga1]＋[lga2]＋[lga3]＋…＋[lga2000]＝－1×1＋18×0＋1×180＋2×1800＋3×1＝3782．故答案为：an＝，3782．]数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2．(1)求{an}的通项公式；(2){an}的前多少项和最大；(3)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Sn′．[解] (1)法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，又当n＝1时，a1＝S1＝33－1＝32满足an＝34－2n．故{an}的通项公式为an5
＝34－2n．法二：由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n．(2)法一：令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，故数列{an}的前17项大于或等于零．又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．法二：y＝－x2＋33x的对称轴为x＝，距离最近的整数为16，17．由Sn＝－n2＋33n的图像可知：当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an<0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．(3)由(2)知，当n≤17时，an≥0；当n≥18时，an<0．所以当n≤17时，Sn′＝b1＋b2＋…＋bn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2．当n≥18时，Sn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn＝n2－33n＋544．故Sn′＝5
