数列中的递推(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n(n∈N＋)，则a2＋a18等于( )A．33 B．34 C．35 D．36B [a2＝S2－S1＝(22－4)－(1－2)＝1，a18＝S18－S17＝(182－36)－(172－34)＝33，∴a2＋a18＝1＋33＝34，故选B．]2．已知数列{an}满足：a1＝－，an＝1－(n≥2)，则a4等于( )A．B．C．－D．C [由题知a2＝1－＝5，a3＝1－＝，a4＝1－＝－．]3．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，则an与an－1的关系为( )A．an＝2an－1B．an＝an－1C．an＝－2an－1D．an＝－an－1A [∵Sn＝2an－2，∴当n＝1时，a1＝2a1－2，即a1＝2．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，故选A．]4．已知数列{an}前n(n∈N*)项和为Sn，且满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝m，a2＝n，则下列结论正确的是( )A．a2021＝－m，S2021＝2n－mB．a2021＝－n，S2021＝2n－mC．a2021＝－n，S2021＝n－mD．a2021＝－m，S2021＝n－mC [因为an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝m，a2＝n，所以a3＝n－m，a4＝n－m－n＝－m，a5＝－m－(n－m)＝－n，a6＝－n＋m，a7＝－n＋m＋n＝m，a8＝m－(－n＋m)＝n，…可以得出数列{an}是周期数列，周期为6，所以a2021＝a5＝－n，因为a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，所以S2021＝S5＝n－m，故选C]5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝( )5
A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnnA [an＋1－an＝ln＝ln，∴an－an－1＝ln，an－1－an－2＝ln，…，a3－a2＝ln，a2－a1＝ln2．各式相加后得an＝ln＋ln＋…＋ln＋ln2＋a1＝ln＋2＝lnn＋2．]二、填空题6．已知数列{an}满足a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)，则a5＝________．31 [因为a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)，所以a2＝3，a3＝7，a4＝15，所以a5＝2a4＋1＝31．]7．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则a1＝__________；a5＝__________．2 86 [由题意知，an＝21n－19，所以a1＝2，a5＝86，故答案为2；86]8．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系可以是________．an＝2n＋1，n∈N＋ [a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，an＝2n＋1，n∈N＋．]三、解答题9．已知数列{an}的第1项是2，以后的各项由公式an＝(n＝2，3，4，…)给出，写出这个数列的前5项，并归纳出数列{an}的通项公式．[解] 可依次代入项数进行求值．a1＝2，a2＝＝－2，a3＝＝－，5
a4＝＝－，a5＝＝－．即数列{an}的前5项为2，－2，－，－，－．也可写为，，，，．即分子都是－2，分母依次加2，且都是奇数，所以an＝－(n∈N＋)．10．已知数列{an}的前n项和为Sn，求数列{an}的通项公式．(1)Sn＝2n－1，n∈N*；(2)Sn＝2n2＋n＋3，n∈N*．[解] (1)∵Sn＝2n－1(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝S1＝2－1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1．经检验，当n＝1时，符合上式，∴an＝2n－1(n∈N*)．(2)∵Sn＝2n2＋n＋3(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋1＋3＝6；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n＋3－[2(n－1)2＋(n－1)＋3]＝4n－1．经检验，当n＝1时，不符合上式，∴an＝．1．斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．斐波那契数列{an}可以用如下方法定义：an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*)，a1＝a2＝1．若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{bn}，则b2021＝( )A．1B．2C．3D．5A [因为an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*)，a1＝a2＝1，所以数列{an}为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，此数列各项除以4的余数依次构成的数列{bn}为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，…，是以6为周期的周期数列，所以b2021＝b6×336＋5＝b5＝1，故选A]5
2．(多选题)已知数列{an}满足an>0，＝(n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn，则( )A．a1＝1B．a1a2＝1C．S2020a2021＝2020D．S2020a2021>2020BC [由＝可知＝＝an＋，即an＝－，当n＝1时，a1＝，即得到a1a2＝1，故选项B正确；a1无法计算，故A错误；Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＋＋…＋＝－＝，所以Snan＋1＝n，则S2020a2021＝2020，故选项C正确，选项D错误．故选BC．]3．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，则an＝________． [由条件知＝，分别令n＝1，2，3，…，n－1，代入上式得n－1个等式，即···…·＝×××…×⇒＝．又∵a1＝，∴an＝．]4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且对任意的n∈N*，都有，则S61＝__________．5 [∵，∴a2n＋a2n＋1＝log2＋log2＝log2，∴S61＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a60＋a61)＝1＋log2＋log2＋…＋log2＝1＋log2＝1＋log216＝5．]设数列{an}中，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”．(1)设数列{an}为“凸数列”，若a1＝1，a2＝－2，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；(2)在“凸数列”中，求证an＋6＝an，n∈N*．[解] (1)因为an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，且a1＝1，a2＝－2，所以a1＝1，a2＝－2，a3＝－3，a4＝－1，a5＝2，a6＝3，S6＝0．(2)证明：由题意知，，∴an＋1＋an＋2＝an＋an＋2＋an＋1＋an＋3，即an＋an＋3＝0，∴an＋3＝－an，∴an＋6＝－an＋3＝an，n∈N*．5
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