函数最值的求法(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m的值为( )A．16 B．12 C．32 D．6C [f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，由f(－3)＝17，f(3)＝－1，f(－2)＝24，f(2)＝－8，可知M－m＝24－(－8)＝32．]2．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)<g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为( )A．f(a)－g(a)B．f(b)－g(b)C．f(a)－g(b)D．f(b)－g(a)A [令F(x)＝f(x)－g(x)，∵f′(x)<g′(x)，∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，∴F(x)在[a，b]上单调递减，∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a)．]3．函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为( )A．1－eB．－1C．－eD．0B [因为f′(x)＝－1＝，当x∈(0，1)时，f′(x)>0．当x∈(1，e]时，f′(x)<0，所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减．所以当x＝1时，f(x)取得极大值，也是最大值，为ln1－1＝－1．故选B．]4．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是( )A．3B．18C．20D．0C [令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，则f(x)min＝f(－3)＝－19，f(x)max＝f(－1)＝f(2)＝1，由题意知|f(x1)－f(x2)|max＝|－19－1|＝20，∴t≥20，故tmin＝20．]5．函数f(x)＝x3－x2＋a，函数g(x)＝x2－3x，它们的定义域均为[1，＋∞)，并且函数f(x)的图像始终在函数g(x)图像的上方，那么a的取值范围是( )6
A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．D．A [设h(x)＝f(x)－g(x)＝x3－x2＋a－x2＋3x，则h′(x)＝x2－4x＋3＝(x－3)(x－1)，所以当x∈[1，3)时，h(x)单调递减；当x∈(3，＋∞)时，h(x)单调递增．当x＝3时，函数h(x)取得极小值也是最小值．因为f(x)的图像始终在g(x)的图像上方，所以h(x)min>0，即h(3)＝a>0，所以a的取值范围是(0，＋∞)．]二、填空题6．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为________．－71 [f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．令f′(x)＝0得x＝3或x＝－1．又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20．则f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71．]7．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为________． [由题意画出函数图像如图所示，由图可以看出|MN|＝y＝t2－lnt(t>0)，则y′＝2t－＝＝．6
当0<t<时，y′<0，可知y在内单调递减；当t>时，y′>0，可知y在内单调递增．故当t＝时，|MN|有最小值．]8．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意的x∈(0，1]都有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围为________．[4，＋∞) [因为x∈(0，1]，f(x)≥0可化为a≥－，设g(x)＝－，则g′(x)＝．令g′(x)＝0，得x＝．当0<x<时，g′(x)>0；当<x≤1时，g′(x)<0．所以g(x)在(0，1]上有极大值g＝4，它也是最大值，所以a≥4．]三、解答题9．已知函数f(x)＝x3－ax＋1，f′(x)是f(x)的导函数，且f′＝0．(1)求a的值；(2)求函数f(x)在区间[－4，5]上的最值．[解] (1)∵f(x)＝x3－ax＋1(x∈R)，∴f′(x)＝x2－a，∵f′(2)＝4－a＝0，∴a＝4．(2)由(1)可得：f(x)＝x3－4x＋1，f′(x)＝x2－4，令f′(x)＝x2－4＝0，解得x＝±2．列出表格如下：x[－4，－2)－2(－2，2)2(2，5]f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值－↗又∵f(－4)＝－＝f(2)，f(5)＝>．6
所以函数f(x)在区间[－4，5]上的最大值为，最小值为－．10．已知函数f(x)＝(x－k)ex．(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值．[解] (1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝k－1．当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘－ek－1↗所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0，1]上单调递增．所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k；当0<k－1<1，即1<k<2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1，1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0，1]上单调递减．所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e．综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；当1<k<2时，f(x)min＝－ek－1；当k≥2时，f(x)min＝(1－k)e．1．若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是( )A．(－1，)B．(－1，4)C．(－1，2]D．(－1，2)C [由f′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1．当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘－2↗2↘由此得a2－12＜－1＜a，解得－1＜a＜．又当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，且当x＝2时，f(x)＝－2．∴a≤2．综上，－1＜a≤2．]6
2．(多选题)已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，部分对应值如表，f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所示．x－1045f(x)1221下列关于函数f(x)的命题中真命题为( )A．函数y＝f(x)是周期函数B．函数f(x)在[0，2]上是减函数C．如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为5D．当1＜a＜2时，函数y＝f(x)－a有4个零点BC [由图像不能判断出y＝f(x)是否为周期函数，故A错误；由已知中y＝f′(x)的图像可得在[0，2]上f′(x)＜0，即f(x)在[0，2]是减函数，即B正确；由已知中y＝f′(x)的图像，及表中数据可得当x＝0或x＝4时，函数取最大值2，若x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值为5，即C正确；由f(x)＝a，因为极小值f(2)未知，所以无法判断函数y＝f(x)－a有几个零点，所以D错误．故选BC．]3．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，则实数a＝________，若m，n∈[－1，1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________．3 －13 [对函数f(x)求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3．由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在[－1，0)上单调递减，在(0，1]上单调递增，∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4．又∵f′(x)＝－3x2＋6x的图像开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1，1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9，故f(m)＋f′(n)的最小值为－13．]4．若函数f(x)＝在(－2，a)上有最小值，则a的取值范围为________．(－1，＋∞) [f′(x)＝，令f′(x)>0，解得x>－1；令f′(x)<0，解得x<－1．6
故f(x)在(－2，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，若f(x)在(－2，a)上有最小值，则a>－1．]已知函数f(x)＝lnx＋．(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值．[解] 函数f(x)＝lnx＋的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＝．(1)∵a<0，∴f′(x)>0，故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．(2)当x∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a<1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a<1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；②当a＝1时，函数f(x)在[1，e]上单调递增，其最小值为f(1)＝1，同样与最小值是相矛盾；③当1<a<e时，函数f(x)在[1，a)上有f′(x)<0，f(x)单调递减，在(a，e]上有f′(x)>0，f(x)单调递增，所以，函数f(x)的最小值为f(a)＝lna＋1，由lna＋1＝，得a＝．④当a＝e时，函数f(x)在[1，e]上有f′(x)≤0，f(x)单调递减，其最小值为f(e)＝2，这与最小值是相矛盾；⑤当a>e时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋>2，仍与最小值是相矛盾．综上所述，a的值为．6
