导数与函数的单调性(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数y＝x＋xlnx的单调递减区间是( )A．(－∞，e－2) B．(0，e－2)C．(e－2，＋∞)D．(e2，＋∞)B [因为y＝x＋xlnx，所以定义域为(0，＋∞)．令y′＝2＋lnx<0，解得0<x<e－2，即函数y＝x＋xlnx的单调递减区间是(0，e－2)，故选B．]2．如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图像，则下面判断正确的是( )A．在区间(－2，1)上f(x)是增函数B．在区间(1，3)上f(x)是减函数C．在区间(4，5)上f(x)是增函数D．在区间(3，5)上f(x)是增函数C [由导函数f′(x)的图像知在区间(4，5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在(4，5)上单调递增．故选C．]3．若函数f(x)＝ax3－x在R上是减函数，则( )A．a≤0B．a<1C．a<2D．a≤A [f′(x)＝3ax2－1．因为函数f(x)在R上是减函数，所以f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，所以a≤0．故选A．]4．已知函数f(x)＝＋lnx，则有( )A．f(2)＜f(e)＜f(3)B．f(e)＜f(2)＜f(3)C．f(3)＜f(e)＜f(2)D．f(e)＜f(3)＜f(2)A [因为在定义域(0，＋∞)上，f′(x)＝＋＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)＜f(e)＜f(3)．故选A．]5．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2．则f(x)>2x5
＋4的解集为( )A．(－1，1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)B [构造函数g(x)＝f(x)－(2x＋4)，则g(－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f′(x)>2．∴g′(x)＝f′(x)－2>0，∴g(x)是R上的增函数．∴f(x)>2x＋4⇔g(x)>0⇔g(x)>g(－1)，∴x>－1．]二、填空题6．函数y＝x3－ax2＋x－2a在R上不是单调函数，则a的取值范围是________．(－∞，－1)∪(1，＋∞) [y′＝x2－2ax＋1有两个不相等零点，得Δ＝(－2a)2－4>0，得a2>1，解得a<－1或a>1．]7．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是__________．(0，＋∞) [若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0．]8．若函数f(x)＝(－x2＋ax)ex在区间(－1，1)上存在减区间，则实数a的取值范围是__________． [f(x)＝(－x2＋ax)ex，则f′(x)＝ex[－x2＋ax－2x＋a]，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex在区间(－1，1)上存在减区间，只需－x2＋ax＋a－2x≤0在区间(－1，1)上有解，记g(x)＝－x2＋(a－2)x＋a，对称轴x＝，开口向下，g(－1)＝－1－(a－2)＋a＝1>0，只需g(1)<0，所以－1＋a－2＋a<0，解得a<，故答案为．]三、解答题9．设f(x)＝，其中a为正实数．若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．[解] f′(x)＝．若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)≥0或f′(x)≤0在R上恒成立．5
又a>0，所以ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立．所以对于方程ax2－2ax＋1＝0，有Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，解得0<a≤1．经验证，a＝1符合题意．所以a的取值范围为(0，1]．10．试求函数f(x)＝kx－lnx的单调区间．[解] 函数f(x)＝kx－lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝k－＝．当k≤0时，kx－1＜0，∴f′(x)＜0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减．当k＞0时，由f′(x)＜0，即＜0，解得0＜x＜；由f′(x)＞0，即＞0，解得x＞．∴当k＞0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为．综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；当k＞0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为．1．(多选题)设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a<x<b时有( )A．f(x)g(x)>f(b)g(b)B．f(x)g(a)>f(a)g(x)C．f(x)g(b)>f(b)g(x)D．f(a)g(b)>f(b)g(a)CD [因为′＝．又因为f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，所以在R上为减函数．又因为a<x<b，所以>>，又因为f(x)>0，g(x)>0，所以f(x)g(b)>f(b)g(x)，f(a)·g(b)>g(a)f(b)．故选CD．]2．如果对定义在R上的偶函数f(x)，满足对于任意两个不相等的正实数x1，x2，都有>0，则称函数y＝f(x)为“F函数”，下列函数为“F函数”的是( )A．f(x)＝e－|x|B．f(x)＝ln|x|5
C．f(x)＝x2D．f(x)＝x|x|C [设x1>x2>0，则x1－x2>0，所以由>0可得x1f(x1)－x2f(x2)>0，即H(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递增．A中，f(x)为偶函数，H(x)＝xf(x)＝xe－|x|＝xe－x，H′(x)＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x，当x>1时，H′(x)<0，不满足函数为(0，＋∞)上的增函数，故A不正确；B中，f(x)为偶函数，H(x)＝xf(x)＝xlnx，H′(x)＝1＋lnx，当0<x<时，H′(x)<0，不满足函数为(0，＋∞)上的增函数，故B不正确；C中，f(x)为偶函数，H(x)＝xf(x)＝x3，H′(x)＝3x2≥0恒成立，满足函数为(0，＋∞)上的增函数，故C正确；D中，f(－x)＝－x|x|＝－f(x)，函数不是偶函数，故D错误．故选C．]3．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围为________． [f′(x)＝3x2＋2x＋m，由于f(x)是R上的单调函数，所以f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．由于导函数的二次项系数3>0，所以只能有f′(x)≥0恒成立．法一：由上述讨论可知要使f′(x)≥0恒成立，只需使方程3x2＋2x＋m＝0的判别式Δ＝4－12m≤0，故m≥．经检验，当m＝时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意．所以实数m的取值范围是m≥．法二：3x2＋2x＋m≥0恒成立，即m≥－3x2－2x恒成立．设g(x)＝－3x2－2x＝－3＋，易知函数g(x)在R上的最大值为，所以m≥．经检验，当m＝时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意．所以实数m的取值范围是m≥．]5
4．函数f(x)＝的单调递增区间是________，曲线f(x)在点(1，1)处的切线方程是________．(0，1) y＝1 [f′(x)＝－(x>0)，令f′(x)>0得0<x<1，故函数f(x)的单调递增区间是(0，1)．又f′(1)＝0，故f(x)在(1，1)处的切线方程为y＝1．]设函数f(x)＝a2lnx－x2＋ax(a>0)．(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．[解] (1)∵f(x)＝a2lnx－x2＋ax，其中x>0，∴f′(x)＝－2x＋a＝－，由于a>0，∴f(x)的单调递增区间为(0，a)，单调递减区间为(a，＋∞)．(2)由题意得，f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e，由(1)知f(x)在[1，e]上单调递增，要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立，只要解得a＝e．5
