第三章 函数本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知函数f(x)=ax3+bx+4(a,b不为零),且f(5)=10,则f(-5)等于( ) A.-10B.-2C.-6D.142.已知函数y=f(x+1)的定义域为[-2,0],若k∈(0,1),则函数F(x)=f(x-k)+f(x+k)的定义域为( )A.[k-1,1-k]B.[-k-1,1+k]C.[k-1,1+k]D.[-k-1,1-k]3.已知函数fx-1x=x2+1x2,则f(3)等于( )A.8B.9C.11D.104.已知函数f(x)=x2+2x,x<0,x2-2x,x≥0,若f(-a)+f(a)≤0,则实数a的取值范围是( )A.[-1,1]B.[-2,0]C.[0,2]D.[-2,2]5.若函数f(x)=ax2+(a-2b)x+a-1是定义在(-a,0)∪(0,2a-2)上的偶函数,则fa2+b25=( )A.1B.3C.52D.726.设f(x)是R上的奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,f(-2)=0,则f(x)x<0的解集是( )A.{x|-2<x<0或0<x<2}B.{x|x<-2或x>2}C.{x|x<-2或0<x<2}D.{x|-2<x<0或x>2}7.设集合A=0,12,B=12,1,函数f(x)=x+12,x∈A,2(1-x),x∈B,若x0∈A,且f[f(x0)]∈A,则x0的取值范围是( )A.0,14B.14,12C.14,12D.0,388.函数f(x)=1|x|-1的图像形如汉字“囧”,故称其为“囧函数”.下列命题:①函数f(x)的定义域为{x|x≠1};②函数f(x)的图像关于直线x=1对称;13
③当x∈[0,1)时,f(x)max=-1;④函数g(x)=f(x)-x2+1有3个零点.其中正确命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)9.下列各组函数表示的是同一个函数的有( )A.f(x)=-2x3与g(x)=x·-2xB.f(x)=|x|与g(x)=x2C.f(x)=xx与g(x)=x0D.f(x)=x·x+1与g(x)=x2+x10.已知函数f(x)=1-x+x+3,则( )A.f(x)的定义域为[-3,1]B.f(x)为定义域上的增函数C.f(x)为非奇非偶函数D.f(x)的最大值为811.对任意两个实数a,b,定义min{a,b}=a,a≤b,b,a>b,若f(x)=2-x2,g(x)=x2,下列关于函数F(x)=min{f(x),g(x)}的说法正确的有( )A.函数F(x)是偶函数B.函数F(x)有2个单调区间C.函数F(x)的最大值为1,无最小值D.方程F(x)=0有三个不同的根12.若函数f(x)同时满足:①对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0;②若对于定义域上的任意x1,x2,当x1≠x2时,恒有f(x1)-f(x2)x1-x2<0,则称函数f(x)为“理想函数”.下列四个函数中,能被称为“理想函数”的有( )A.f(x)=1xB.f(x)=-x3C.f(x)=|x|D.f(x)=-x2,x≥0x2,x<013
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.若f(x)=ax,x≥1,-x+3a,x<1是R上的单调函数,则实数a的取值范围为 . 14.设f(x)是定义在R上的函数,且f(x+2)=f(x),在区间[-1,1)上,f(x)=x+a,-1≤x<0,25-x,0≤x<1,其中a∈R,若f-52=f92,则f(5a)的值是 . 15.已知函数y=f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,f(-2)=0,则不等式xf(x)<0的解集为 . 16.2019年1月1日起新的个人所得税法开始实施,依据《中华人民共和国个人所得税法》可知纳税人实际取得工资、薪金(扣除专项、专项附加及依法确定的其他)所得不超过5000元(俗称“起征点”)的部分不征税,超出5000元部分为全月应纳税所得额.新的税率表如下:个人所得税税率表(综合所得适用)全月应纳税所得额税率(%)不超过3000元的部分3超过3000元至12000元的部分10超过12000元至25000元的部分20超过25000元至35000元的部分25超过35000元至55000元的部分30超过55000元至80000元的部分35超过80000元的部分45个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除.其中赡养老人一项指纳税人赡养60岁(含)以上父母及其他法定赡养人的赡养支出,可按照以下标准扣除:纳税人为独生子女的,按照每月2000元的标准定额扣除;纳税人为非独生子女的,由其与兄弟姐妹分摊每月2000元的扣除额度,每人分摊的额度不能超过每月1000元.某纳税人只有一个姐姐,且两人仅符合规定中的赡养老人的条件,如果他在2020年5月份应缴纳个人所得税款为180元,那么他当月的工资、薪金税后所得是 元. 四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知函数f(x)=mx+11+x2是R上的偶函数.(1)求实数m的值;13
(2)判断并用定义证明函数y=f(x)在(-∞,0)上的单调性.18.(12分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像,如图所示,请根据图像解答下列问题.(1)写出函数f(x)(x∈R)的增区间;(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式;(3)若函数g(x)=f(x)-2ax+2(x∈[1,2]),求函数g(x)的最小值.19.(12分)已知函数f(x)=x2+ax,且f(1)=2.(1)判断并证明函数f(x)在其定义域上的奇偶性;13
(2)证明函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;(3)求函数f(x)在区间[2,5]上的最值.20.(12分)某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14吨,如果在市场上直接销售,每吨可获利0.2万元;如果进行精加工后销售,每吨可获利0.6万元,但需另外支付一定的加工费,总的加工费P(单位:万元)与精加工的蔬菜量x(单位:吨)有如下关系:P=120x2,0≤x≤8,3x+810,8<x≤14.设该农业合作社将x吨蔬菜进行精加工后销售,其余在市场上直接销售,所得总利润(扣除加工费)为y(单位:万元).(1)写出y关于x的函数表达式;(2)求当精加工蔬菜多少吨时,总利润最大,并求出最大利润.13
21.(12分)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y).任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,都有f(x2)>f(x1).(1)求f(1),f(4),f(8)的值;(2)若有f(x)-f(x-2)>3成立,求x的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)对任意的实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且当x>0时,有f(x)>1.(1)求f(0)的值;(2)求证:f(x)在R上为增函数;(3)若f(1)=2,且关于x的不等式f(ax-2)+f(x-x2)<3对任意的x∈[1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.13
答案全解全析第三章 函数本章达标检测1.B2.A3.C4.D5.B6.A7.C8.B9.BC10.AC11.ACD12.BD一、单项选择题1.B ∵f(5)=125a+5b+4=10,∴125a+5b=6,∴f(-5)=-125a-5b+4=-(125a+5b)+4=-6+4=-2.故选B.2.A ∵f(x+1)的定义域为[-2,0],∴x+1∈[-1,1],∴-1≤x-k≤1,-1≤x+k≤1,解得k-1≤x≤k+1,-k-1≤x≤-k+1,即k-1≤x≤1-k(0<k<1).故选A.3.C ∵fx-1x=x2+1x2=x-1x2+2,∴f(x)=x2+2,∴f(3)=32+2=11.故选C.4.D 当a>0时,f(-a)+f(a)=2a2-4a≤0,解得0<a≤2;当a=0时,f(-a)+f(a)=0,符合条件;当a<0时,f(-a)+f(a)=2a2+4a≤0,解得-2≤a<0.综上,a∈[-2,2].故选D.5.B ∵偶函数的定义域关于原点对称,∴-a+2a-2=0,解得a=2.∵f(-x)=f(x),∴a-2b=0,∴b=1.∴f(x)=2x2+1,∴fa2+b25=f(1)=3.故选B.6.A ∵f(x)是R上的奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,∴f(x)在(-∞,0)内也是增函数,又∵f(-2)=0,∴f(2)=0,∴当x∈(-∞,-2)∪(0,2)时,f(x)<0,13
当x∈(-2,0)∪(2,+∞)时,f(x)>0,∴f(x)x<0的解集是{x|-2<x<0或0<x<2}.7.C ∵0≤x0<12,∴f(x0)=x0+12∈12,1,∴f[f(x0)]=2×[1-f(x0)]=2×1-x0+12=2×12-x0.∵f[f(x0)]∈A,∴0≤2×12-x0<12,∴14<x0≤12,又∵0≤x0<12,∴14<x0<12.故选C.8.B 函数f(x)=1|x|-1的定义域是{x|x≠±1},故①错误;因为f(-x)=f(x),所以f(x)的图像关于y轴对称,故②错误;当x∈[0,1)时,f(x)=1|x|-1=1x-1,f(x)在[0,1)上单调递减,所以f(x)max=f(0)=-1,故③正确;f(x)=1|x|-1=1x-1,x>0且x≠1,-1x+1,x<0且x≠-1,作出y=f(x)与y=x2-1的图像,如图所示,由图像知④正确.故选B.二、多项选择题9.BC 对于A,f(x)=-2x3与g(x)=x·-2x的对应关系不同,故f(x)与g(x)表示的不是同一个函数;对于B,f(x)=|x|与g(x)=x2的定义域和对应关系均相同,故f(x)与g(x)表示的是同一个函数;对于C,f(x)=xx与g(x)=x0的对应关系和定义域均相同,故f(x)与g(x)表示的是同一个函数;对于D,f(x)=x·x+1的定义域是{x|x>0},g(x)=x2+x的定义域是{x|x>0或x<-1},故f(x)与g(x)表示的不是同一个函数.故选BC.13
10.AC 由题设可得函数的定义域为[-3,1],不关于原点对称,故f(x)为非奇非偶函数,AC正确;f2(x)=4+2×-x2-2x+3=4+2×4-(x+1)2,而0≤4-(x+1)2≤2,即4≤f2(x)≤8,∵f(x)>0,∴2≤f(x)≤22,且f(-3)=f(1)=2,f(-1)=22,∴f(x)在定义域上不具有单调性,f(x)的最大值为22,故选AC.11.ACD 依题意,得F(x)=2-x2,x≤-1或x≥1,x2,-1<x<1.画出F(x)的图像如图所示(图中实线部分).由图可知,F(x)为偶函数;F(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(0,1),F(x)的单调递减区间为[-1,0),[1,﹢∞),所以函数F(x)有4个单调区间;当x=±1时,F(x)取得最大值1,无最小值;方程F(x)=0有三个不同的根,分别是-2,0,2.故选ABCD.12.BD 由题中①知,f(x)为奇函数;由题中②知,f(x)为减函数.在A中,函数f(x)=1x为定义域上的奇函数,但不是定义域上的减函数,所以不是“理想函数”;在B中,函数f(x)=-x3为定义域上的奇函数,且在定义域上为减函数,所以是“理想函数”;在C中,函数f(x)=|x|为定义域上的偶函数,且在定义域内不单调,所以不是“理想函数”;在D中,函数f(x)=-x2,x≥0,x2,x<0的大致图像如图所示,显然此函数为奇函数,且在定义域上为减函数,所以是“理想函数”,综上,选BD.三、填空题13.答案 12,+∞解析 ∵f(x)=-x+3a在x∈(-∞,1)上是单调递减的,且f(x)在R上是单调函数,∴f(x)在R上一定单调递减,∴a>0,a≤-1+3a,解得a≥12,∴a∈12,+∞.13
14.答案 -25解析 ∵f(x+2)=f(x),∴f-52=f-12,f92=f12,又∵f-52=f92,∴f-12=f12,∴-12+a=25-12,∴a=35,∴f(5a)=f(3)=f(1)=f(-1)=-1+35=-25.15.答案 (-2,0)∪(0,2)解析 ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(2)=-f(-2)=0.∵f(x)为奇函数且在(0,+∞)上单调递增,∴f(x)在(-∞,0)上单调递增.由数形结合解xf(x)<0可得-2<x<0或0<x<2,即不等式xf(x)<0的解集为(-2,0)∪(0,2).16.答案 9720解析 设他当月的工资、薪金是x元,若他当月的工资、薪金是8000元,则他应纳税3000×3%=90,由于他有专项附加扣除1000元,因此他的工资是9000元时,纳税90元,因为90<180,所以x>9000,则(x-9000)×10%=180-90,解得x=9900,故他当月的工资、薪金税后所得是9900-180=9720(元).四、解答题17.解析 (1)因为函数f(x)=mx+11+x2是R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),(2分)即m·(-x)+11+(-x)2=mx+11+x2对任意实数x恒成立,解得m=0.(4分)(2)由(1)得f(x)=11+x2,此函数在(-∞,0)上为增函数.(5分)证明:任取x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=11+x12-11+x22=x22-x12(1+x12)(1+x22)=(x2+x1)(x2-x1)(1+x12)(1+x22),(7分)因为x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,所以(1+x12)(1+x22)>0,x2+x1<0,x2-x1>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),(9分)所以函数f(x)=11+x2在(-∞,0)上为增函数.(10分)18.解析 (1)根据偶函数的性质及已知条件,将题中f(x)的图像补充完整(图略),由函数图像知,f(x)的增区间为[-1,0]和[1,+∞).(3分)(2)当x>0时,-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x,(5分)又因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)=f(-x)=x2-2x,(6分)所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x,x>0,x2+2x,x≤0.(7分)13
(3)由(2)知,g(x)=x2-(2a+2)x+2(x∈[1,2]).(8分)因为函数y=x2-(2a+2)x+2,x∈R的图像的对称轴为直线x=--(2a+2)2=a+1,(9分)所以①当a+1≤1,即a≤0时,函数g(x)的最小值为g(1)=1-2a;(10分)②当a+1≥2,即a≥1时,函数g(x)的最小值为g(2)=2-4a;(11分)③当1<a+1<2,即0<a<1时,函数g(x)的最小值为g(a+1)=-a2-2a+1.(12分)19.解析 (1)f(x)在其定义域上为奇函数.(1分)证明如下:∵f(x)=x+ax(x≠0),f(1)=1+a=2,∴a=1,∴f(x)=x+1x,(3分)∵f(-x)=-x-1x=-f(x),且函数f(x)的定义域关于原点对称,∴f(x)在定义域上为奇函数.(4分)(2)证明:任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,f(x2)-f(x1)=x2+1x2-x1+1x1=(x2-x1)+x1-x2x2x1=(x2-x1)1-1x1x2,(6分)∵1<x1<x2,∴x2-x1>0,x1x2>1,∴1x1x2<1,∴1-1x1x2>0,∴f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),∴f(x)在(1,+∞)上为增函数.(8分)(3)由(2)可知f(x)在(1,+∞)上单调递增,∴f(x)在[2,5]上的最小值和最大值分别为f(x)min=f(2)=2+12=52,(10分)f(x)max=f(5)=5+15=265.(12分)20.解析 (1)由题意知,当0≤x≤8时,y=0.6x+0.2(14-x)-120x2=-120x2+25x+145;(2分)当8<x≤14时,y=0.6x+0.2(14-x)-3x+810=110x+2.(4分)故y=-120x2+25x+145,0≤x≤8,110x+2,8<x≤14.(5分)13
(2)当0≤x≤8时,y=-120x2+25x+145=-120(x-4)2+185,(7分)所以当x=4时,ymax=185.(8分)当8<x≤14时,y=110x+2,所以当x=14时,ymax=175.(10分)因为185>175,所以当x=4时,ymax=185.(11分)即当精加工蔬菜4吨时,总利润最大,最大利润为185万元.(12分)21.解析 (1)因为f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1,所以令x=1,y=2,则f(2)=f(2)+f(1),即1=1+f(1),解得f(1)=0,(3分)令x=2,y=2,则f(4)=f(2)+f(2),解得f(4)=2,(4分)令x=2,y=4,则f(8)=f(2)+f(4),解得f(8)=3,(5分)所以f(1)=0,f(4)=2,f(8)=3.(6分)(2)因为任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,都有f(x2)>f(x1),所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,(7分)因为f(x)-f(x-2)>3,所以f(x)>3+f(x-2),由(1)知f(8)=3,所以f(x)>f(8)+f(x-2),又因为f(xy)=f(x)+f(y),所以f(x)>f(8)+f(x-2)=f(8x-16),即f(x)>f(8x-16),(10分)因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以x>8x-16,8x-16>0,解得2<x<167,所以x的取值范围为2,167.(12分)22.解析 (1)令m=n=0,则f(0)=2f(0)-1,∴f(0)=1.(3分)(2)证明:任取x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1.(4分)∵f(m+n)=f(m)+f(n)-1,∴f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1>1+f(x1)-1=f(x1),∴f(x2)>f(x1),13
∴f(x)在R上为增函数.(7分)(3)∵f(ax-2)+f(x-x2)<3,即f(ax-2)+f(x-x2)-1<2,∴f(ax-2+x-x2)<2.∵f(1)=2,∴f(ax-2+x-x2)<f(1).又∵f(x)在R上为增函数,∴ax-2+x-x2<1,∴x2-(a+1)x+3>0对任意的x∈[1,+∞)恒成立.令g(x)=x2-(a+1)x+3,x≥1,只需满足g(x)min>0即可.当a+12≤1,即a≤1时,g(x)在[1,+∞)上递增,因此g(x)min=g(1),由g(1)>0得a<3,此时a≤1;当a+12>1,即a>1时,g(x)min=ga+12,由ga+12>0得-23-1<a<23-1,此时1<a<23-1.综上,实数a的取值范围为(-∞,23-1).(12分)13
